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Zmn-0473 李振华：也谈康托的对角线证明

已有 1560 次阅读 2021-3-7 09:04 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0473 李振华：也谈康托的对角线证明

【编者按。下面是李振华的文章。是对《Zmn-0470》《Zmn-0445》等文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

也谈康托的对角线证明

李振华

我认为这个证明是对的，但很多人都反对这个证明，这也是可以理解的。为什么那么多人反对康托的证明，因为这破坏了人们心中只有一个无限的观念。这就好比说，人们信仰唯一真神，但康托说存在多个神，这是对传统的彻底颠覆。不过，后来康托自己也意识到了这个问题，没有绝对只有相对是不行的，于是康托又提出了绝对无限的观念，把绝对无限等同于神。

康托证明了，小数的个数多于小数的位数，幂集合的基数大于原集合的基数，无论小数，集合是有限的还是无限的都成立。

理发师悖论，罗素悖论等等都是实数不可数的等价形式。

如果我们不问逻辑，而是认为有用就是对的，那么对角线证明就是对的。因为对角线方法可以在不知道无理数，超越数的情况下证明无理数，超越数的存在，而且还给出了这些数的构造方法。

理发师悖论，罗素悖论中的矛盾，与假定实数可数所产生的矛盾是同一个矛盾。理发师对所有人讲“只给不给自己刮脸的人”刮脸，存在由所有不属于自己的集合所组成的集合，康托在实数不可数的证明中所构造出来的实数是原列表中的某个实数(实数可数）是相同形式的矛盾。理发师对除自己之外的人讲“只给不给自己刮脸的人”刮脸，不存在由所有不属于自己的集合所组成的集合，康托在实数不可数的证明中所构造出来的实数不在原列表之中（实数不可数）是相同形式的无矛盾语句。

所有反对对角线证明的论点，都是可以被驳倒的。

欧阳耿先生用罗素悖论来反对康托的证明，这说明他对这两者都没有理解。康托的反证之所以能成立，恰恰是因为如果假设成立(实数可数）就会产生罗素悖论中的那种矛盾。

谈谈李鸿仪先生反对康托的两个观点。

第一个观点是说，康托构造了一个不在列表中的实数，只是多了一个实数，可数加1依旧可数。有人立即指出这种实数有9^可数无限个。把这个实数放入原来的列表中，又可以产生新的实数。因此，不在列表中的实数远远超过了李鸿仪先生的想象。我们再来看看我们是如何证明自然数的个数是无限的。假设有限，则自然数集合={1,2,3,...,n}，n+1是自然数又不在原来的集合中，矛盾！所以自然数有无限多。按照李鸿仪先生的逻辑，有限+1依旧有限，这样还不能证明自然数有无限多，事实上命题已经被证明了，素数有无限多，实数不可数也是同样的道理。

第二个观点是说，康托构造的实数b=0.b1b2b3....bn....(假设康托操作到第n位），列表中可以有f(m)的前n位=b的前n位,m>n。这个说法的问题在哪里？只对操作有限次成立，对操作无限次是不成立的。当康托完成他的操作时，对应的m是无穷大，f(无穷大）也不会在列表之中，无穷大不是自然数。

还有个论点是说，考虑1-10,2-00,3-11,4-01,按照康托的方法，对前2个取反，b=01，b不等于前三个中的任意一个，但等于第四个，已“列”出。对于n位有限小数，也有类似的结论。于是李鸿仪先生外推到无限的情形，认为个数和位数都是无限多时，也都是可列的。

在这里，有一个问题必须先说清楚。小数的位数必须是自然数那么多，才能表达所有的实数，如果小数的位数多于自然数的个数，它的表达范围就超过实数，如超实数的位数就大于自然数的个数，如果小数的位数小于自然数的个数，它的表达范围就小于实数。无限小数的位数有自然数那么多，这是公认的观点。如果小数的位数是可数无限，那么小数的个数是不可数无限。如果小数的个数可数无限，那么小数的位数是多少？答案是无解，因为可数无限是最小的无限。退一步讲，如果我们认为有解，由于这个无限比可数无限小，那么当小数的位数是这个无限时，有2^这个无限=可数无限，小数的个数只是可数无限，无法表达所有的实数。

我们把无限的情形总结如下：

1、如果位数是可数无限，那么个数是不可数无限，无用自然数进行编号。

2、如果个数是可数无限，那么位数不存在，或是小于可数无限的无限，无法表达所有的实数。

无论哪种情况我们都没有发现实数是可数的。

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