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Zmn-0031 黄汝广: 关于【matrix67：证明实数区间不可数的新方法】，及薜问天先生的评论

已有 2562 次阅读 2019-5-31 11:29 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:科研笔记

Zmn-0031 黄汝广: 关于【matrix67：证明实数区间不可数的新方法】，及薜问天先生的评论
【编者按。黄汝广先生发来一短文，对证明实数不可数的新方法提出了质疑，特应黄先生的要求，请薛问天先生作了评论。现将原文及评论同时发布如下。请网友们关注，並积极参与评论。】

文老师您好！我修订后的短文《关于【matrix67：证明实数区间不可数的新方法】》，希望也请薛问天先生评论一下，发在啄木鸟专栏。

黄汝广

关于【matrix67：证明实数区间不可数的新方法】

黄汝广

matrix67介绍的这个证明是无效的，因为存在偷换概念的问题。

“Baker发现，如果S集为可数集的话，B肯定有必胜策略。如果S集可数，那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ... 。B的目标就是让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数。”注意：这里意味着S集是[0,1]的一个真子集!这是上述结论成立的必要条件。

但是最后,”有趣的事情来了。假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]，那么B显然不可能获胜；但如果[0,1]是可数集的话，B是有必胜策略的。”注意:这里S集就是整个实数区间[0,1]，而不是[0,1]的一个真子集了!由于必要条件不满足，“B是有必胜策略的”也就不再成立，这与“B显然不可能获胜”根本不存在矛盾。因此这个证明是无效的.

薛问天先生的评论

主要问题出在黄汝广先生的这段推理:

【 ”有趣的事情来了。假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]，那么B显然不可能获胜；但如果[0,1]是可数集的话，B是有必胜策略的。”

注意:这里S集就是整个实数区间[0,1]，而不是[0,1]的一个真子集了!①。

由于必要条件不满足，“B是有必胜策略的”也就不再成立，这与“B显然不可能获胜”根本不存在矛盾。②。

因此这个证明是无效的.③】

这里黄先生的推理有些乱，推理应当正好说明证明是有效的，而不是无效的。我把黄先生的推理分为三句话，分别标为①‘②③，来加以分析评论。

①无疑是正确的，这是我们的基本假定，是我们讨论的基础。 S集就是整个实数区间[0,1]。

②说【 S是[0,1]的一个真子集】是必要条件，要明确是谁的必要条件。黄先生说【这是上述结论成立的必要条件】。要知道该结论是在假定「 [0,1]是可数集」下推出的。因而这个条件应该是假定「 [0,1]是可数集」的必要条件。因为【如果[0,1]是可数集的话】，才推出【B是有必胜策略的。】，即【 S是[0,1]的一个真子集】。也就是说【 S是[0,1]的一个真子集】(Q)，(即 B是有必胜策略的)，是【 [0,1]是可数集】(P)的必要条件。源头在【 [0,1]是可数集】(P)。

而正是这个必要条件不滿足(即此必要条件(Q)同①(乛Q)发生矛盾)，才推翻了【 [0,1]是可数集】(P)的假定。使定理【 [0,1]是不可数的】(乛P)得证。
推理模式是P→Q，乛Q 推出乛P。

必要条件不满足，就是“B是有必胜策略的”与“B显然不可能获胜”的矛盾。正是由于此矛盾才使【“B是有必胜策略的”也就不再成立】。才最终推翻了【 [0,1]是可数集】的假定，使定理得证。

黄先生③中所述【这个证明是无效的】显然毫无根据，这里不存在任何【偷换概念】的问题，是个非常有效的证明。

附matrix67对此方法的叙述。

最近，Matthew H. Baker找到了证明实数区间是不可数集的一种新方法。这种方法同原来的方法完全不同。新的证明方法从一个博弈游戏出发，在两个不同的数学领域间建立起了联系，非常具有启发性。
A和B两个人在实数区间[0,1]上玩一个游戏。首先，A在(0,1)之间选一个数a1，然后B在(a1,1)里选一个数b1；接着，A在(a1,b1)之间选一个数a2，然后B在(a2,b1)里选一个数b2……总之，以后A和B轮流取数，选的那个数必须位于前面两次选的数之间。可以看到，序列a1, a2, a3, ...是一个单增的有界序列，因此游戏无限进行下去，数列{an}最终会收敛到某一个实数c。游戏进行前，A和B约定一个[0,1]的子集S，规定如果最后c∈S，则A胜，否则B胜。

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Baker发现，如果S集为可数集的话，B肯定有必胜策略。如果S集可数，那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ... 。B的目标就是让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数。考虑B的这样一个游戏策略：当B第i次选数时，如果选si合法【文清慧注：即介于前面两次选的数Ai同 Bi-1之间】，那么就选它（这样序列{an}就不能收敛到它了）；否则如果这一步选si不合法，那就随便选一个合法的数（此时序列{an}已经不可能收敛到si了）。这种策略就可以保证A选出的数列的极限不是S集里的任一个数。
有趣的事情来了。假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]，那么B显然不可能获胜；但如果[0,1]是可数集的话，B是有必胜策略的。于是我们就知道了，[0,1]是不可数集。