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此段的轴心是制作复合配对

已有 1562 次阅读 2019-3-29 17:05 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

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今日学院：暂无。|| 新闻+ || 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .

(接前：26 25 24) 命题5.7的证明.

Step3. 第一段 (逐句评论).

Let Kw + Bw be the pullback of Kx + B.

---- “pullback” 总是就某个映射而言.

---- 上文只有一个映射 φ: W --> X.

---- φ是 (X, Λ) 的 log resolution.

---- 之前已用过 Kx + Λ 的 pullback.

---- 此处又施加到 Kx + B 上了.

---- 换句话说，尽管 φ出于特定的配对，但其施用并不限于该特定配对，只要是 X 中的适当子集即可.

---- 毕竟，φ是 W --> X 的映射.

Then the coefficients of Bw are bounded from below: this follows from writing Kw + Jw = φ*Kx, noting that Jw ≤ Bw, and arguing that the coefficients of Jw are bounded from below by our choice of φ.

---- Bw 的系数都有下界.

---- 忽然冒出个 Jw. (此句后再未出现).

---- 假定 Kw + Bw = φ*(Kx + B).

---- 右端去掉 B，则左端要有个量来平衡:

---- 故有 Kw + Jw = φ*Kx.

---- 但如何知道一定有 Jw ≤ Bw ?

---- 又，如何选 φ 使得 Jw 有下界 ?

Thus there is α∈(0, 1) depending only on P, Q such that Δw: = αBw + (1 - α)Θw ≥ 0.

---- Bw 有下界==> Bw 和 Θw 的凸组合非负 ?

Let δ=αε. Since (W, Bw) is sub-ε-lc and (W, Θw) is lc, the pair (W, Δw) is δ-lc, by Lemma 2.3.

---- (W, Bw) 及 (W, Θw) 的奇异类型怎么来的 ?

---- 引理2.3可看称作“凸组合”引理.

---- 比如，这里的 (W, Δw) ，边界 Δw 是凸组合:

αBw + (1 - α)Θw

---- 则此配对的类型也是“分量”类型的凸组合:

αε +(1-α)0 = αε=δ.

---- 这里隐含假设：lc 可看作 0-lc.

(lc 型可否看作 eps-lc 型的极限情形 ?)

Moreover, since a(T, W, Θw)=0, a(T, W, Δw) = αa(T, W, Bw) + (1 - α)a(T, W, Θw) = αa(T, W, Bw) ≤ 1.

---- 到这一步原作的意图似乎清楚起来.

评论：此段的轴心是制作复合配对 (W, Δw).

制作方法：取二配对，拿各自边界，做凸组合.

（所谓构造配对，其实是构造边界）.

---- 这样制作的配对，它的奇异类型也是凸组合.

小结：Step3 第一段读写完毕.

* * *

名词：log resolution.

此概念该是较高级的基本概念，但暂时查不到出处。以下这个定义来自一篇文章*.

---- A log resolution of C is a composition of finitely many blowing-ups centered at closed points π : X = Xm → Xm−1 → · · · → X1 → X0 = Spec(R)...

---- 此定义提供的信息不多.

---- 代数几何中，“resolution” 盖指(奇点)“消解”.

---- 作为确认搜 “algebraic geometry resolution”*.

---- 那里出现一个wiki主条目(含“resolution”)*. 在页面上搜“resolution”，只提到一次:

The problem of resolution of singularities is to know if every algebraic variety is birationally equivalent to a variety whose projective completion is nonsingular (see also smooth completion). It was solved in the affirmative in characteristic 0 by Heisuke Hironaka in 1964 and is yet unsolved in finite characteristic.

---- 第二句话提到，一位日本学者解决了特征零情况的奇点消解问题，但有限特征的情形尚未解决.

---- 点入那个名字*，在参考文献部分提到一篇文章（92页），显示正特征、全维度的情况已经获得解决*.(据介绍是2017年贴到个人网页上的).

评论：虽然没有找到合意的定义，但并非徒劳.