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暂时看不出原作是如何归纳的...
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---- 提前进入下一节.
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5.6 Bound on multiplicity at an lc place.
---- “multiplicity” 指什么 ?
(原作此部分没有简介，直接进入命题).
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命题 5.7.
---- 主配置：(X, B) projective, eps-lc.
---- 副配置：A very ample, Aᵈ ≤ r.
---- 特加：Th1.6 对维度 ≤ d-1 成立.
---- 附加1：Λ ≥ 0 Q-divisor, nΛ integral.
---- 附加2：L ≥ 0 lR-divisor.
---- 附加3：A - B, A - Λ, A - L ample.
---- 附加4：(X, Λ) lc near x (not necessarily closed).
---- 附加5：T lc place of (X, Λ) with centre the closure of x.
---- 附加6：a(T, X, B) ≤ 1.
---- 结果：对任意 ν: U --> X, 存在 q>0 使得 μTν*L ≤ q. 其中，T 是 U 上的 divisor.
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图解：
A L
T|x
U --> X B|Λ
注：按顺时针，王(X)、侯、将、相.
---- 出现两个相，可能会用到复合形式.
---- 凡是出现 T，似乎都伴随 a(T, X, B) ≤ 1.
---- nΛ integral 似提示 n 是“整化因子”.
---- 结果中的 ν*L 令人称奇: U 到 X 的映射 ν 和 L 放在了一起?
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证明分为7个步骤 (共15段).
Proof. Step1. Assume x is not a closed point and let C be its closure.
---- 从一个(非闭的)单点出发，得其闭包.
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Take a general H ∈ |A|, and let BH = B|H, AH = A|H, ΛH = Λ|H, and LH = L|H.
---- 从 |A| 中取出“一般” H.(联想到“吝”*).
---- 注意原作“加吝”的顺序：B, A, Λ, L.
(此顺序是否有特别的用意或原因?)
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Take a resolution ν: U --> X on which T is a divisor and let G = ν*H.
---- 取 X 到 U 的回拉式映射 ν.
---- 用 ν* 作用到 H 得到 G.
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Then (H, ΛH) is lc near the generic point of each component of H∩C...★
---- (X, Λ) 在 x 附近 lc (见“附加4”).
---- 则 (X, Λ) 的“吝版” (X, Λ)|H 在 H∩C 的每个分量的 “generic point” 附近 lc.
---- 其实可以用 ( H∩C)ᵢ 表示分量，用 hᵢ 表示其 “generic point”.
---- 则原句可表达为： (X, Λ)|H 在 hᵢ 附近 lc.
---- 进一步，可将 hᵢ 看作 x 的吝版:
---- x ~> C ~> H∩C := CH ~> hᵢ := xH.
---- 于是有：(X, Λ)|H 在 xH 附近 lc.
(即：局部 lc 是 “加吝不变” 的).
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... and each component S of G∩T is an lc place of (H, ΛH) with a(S, H, BH) ≤ 1. ★
---- G∩T 的每个分量 S 是 (X, Λ)|H 的 lc place.
---- a(S, H, BH) ≤ 1 可看作“附加6”的吝版.
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评论：以上第四句体现出某种“对仗”原则.
H|G C|T
X Λ
---- (X, Λ) 在 x 附近 lc.
---- (X, Λ)|H 在 xH 附近 lc.
---- 其中 xH 源于 H∩C.
---- T 是 (X, Λ) 的 lc place (见“附加5”).
---- C 是 T 在 X 上的中心.
---- 恰好， (X, Λ)|H 的 lc place 源于 G∩T.
---- 对仗起见，G∩T 的分量 S 可改写为 TG.
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对照：(X, Λ) 在 x 附近 lc, T 是 (X, Λ) 的 lc place;
..........(X, Λ)|H 在 xH 附近 lc, TG 是 (X, Λ)|H 的 lc place.
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加评：前三句做准备，第四句忽然抛出结论.
---- 可能这类作品只须给出证明的“梗概”.
(至此，L 还没有出场...)
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So by induction, the coefficient of S in ν*L|G is bounded from above which implies the coefficient of T in ν*L is bounded from above too.
---- 暂时看不出原作是如何归纳的.(?)
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Thus from now on we can assume x is a closed point.
---- x 为“非闭”的情形总能证明.
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小结：命题5.7的证明，Step1 完结.
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