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Zmn-0636 薛问天：经过无穷个点的过程可以完成，回答一阳生、林益和新华先生的问题，
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Zmn-0636 薛问天：经过无穷个点的过程可以完成，回答一阳生、林益和新华先生的问题，
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生、林益和新华先生的《Zmn-0613, 0624, 0627》等文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
经过无穷个点的过程可以完成，
回答一阳生、林益和新华先生的问题，
薛问天
实际上要从整个讨论的问题谈起。大家看参考文献，我在《0606》谈了现代实无穷观后，有一阳生，林益和新华先生的讨论《0613》《0624》《0627》。我现在一起來对这些文章做些评论。
新华先生说【对“小球一秒匀速运行 一米”这样简单的问题， 有人却利用自己的聪明想出各种方法、编造各种理由忽悠大家，】我提出这个小球实例，当然不是为了【忽悠大家】，而是通过这个实例让大家认识到，「经历无穷个点的过程」是可以完成的。而这正是现代实无穷观的核心观点。
现代实无穷观认为自然数这个无穷集合的形成过程是可以完成的。所以全体自然数的这个无穷集合，是个确定的集合。
一阳生先生认为自然数的存在，靠的是公理断定它存在。但是潜无穷观者不承认实无穷观，所以也不承认这个公理的断定。只有承认了实无穷观才承认这个公理。因而树立现代实无穷观是相当重要的事。
如同新华先生所说，这个实例非常简单，根本不需要再用物理学去进一步去具体论证了，小球从0点到1点，走完了整个区间[0,1]，当然也经过了区间中所有的点。我所举的这些用自然数标号的无穷个点都属于此区间，是区间中的一部分点，当然经历了整个区间的小球也已全部经历过这无穷个点。也就是说小球经历这无穷个点的过程是完成了的。
新华先生没敢直接回答这个经历过程是完成了还是没完成。
有趣的是。林益先生竟然回答说【不能认为“球经过这无穷个点的过程完成”，】
当我问道 〖 小球经过这无穷个点的过程是否完成了，是否全部都经过了？经过这无穷个点的过程能不能完成？ 〗
我们來㸔林益先生的回答【 答：如果薛问天老师认为题设中没有错误，显然题设的列表中没有 1，而包含 0，而 0， 0.9， 0.99， 0.999， ⋯， 0.99⋯9(n位)， ⋯显然构成无穷数列，都是并不能用统一的通项公式表示，因为没有统一规律可循，即使去掉首项 0，有 an=1- 10-n,只有当n→∞时， 有 an→1，但是 an≠1，因此 1 不在无穷数列中，因此，不能认为“球经过这无穷个点的过程完成”，因为 1 只是当n→∞时 an的极限， 此时极限不可达，即小球不能达到终点，表示小球经过这无穷个点的过程没有完成， 没有全部都经过， 经过这无穷个点的过程不能完成。】
我们來作评论。林益先生承认这是一个无穷序列，但说【并不能用统一的通项公式表示】，显然说错了，我标的很清楚笫n点是〖0.99⋯9(n位)〗，即n位有穷小数，这怎么是没有通项呢？何况林益先生所列的an=1-10-n，也可作为通项，而且0也在其中(n=0)。其实定义序列是只要说清每项是什么就行，并不一定要有一个什么表示通项的式子。
林先生说【只有当n→∞时， 有 an→1，但是 an≠1，因此 1 不在无穷数列中，因此，不能认为“球经过这无穷个点的过程完成”，】此段话是毫无道理的。我们讨论的是球经过这无穷个点的过程，你把序列的极限拿來说什么，更何况小球也到达了1这个点。
另外林益先生对极限不可达的理解也是错误的，极限不可达是指序列中n是有穷数，求极限时，n不可达到∞，不是说小球不能达到1点。
也就是说，林益所说的【经过这无穷个点的过程不能完成。】这个回答是错误的。小球从0到1，我指出的这无穷个点都属于区问[0,1]，当然经过这无穷个点的过程是完全完成了的。林益先生，请问你能指出这无穷个点中，有哪个点是小球未曾经过的点吗？
林益先生还说【如果薛问天老师认为题设中补上 1，数列就形成 0， 0.9， 0.99， 0.999， ⋯， 0.99⋯9(n位)， ⋯， 1，......。】进行了一番评论。我所说的无穷个点都是有穷小数，虽然每个这样的有穷小数都只有有穷位，但是所有这样的有穷小数有无穷个，形成一个以自然数为编号的无穷序列，显然1不在其中。我并不认为要在序列中【补上1】，因而林先生的评论毫无意义，我就不对其中的错误言论加以评论了。
关于对第2个问题的回答，林说【我的观点是「自然数集中不可能有最大元存在。就表明自然数序列不可能完成。 」 完全能够解释上述实例。】
实际上是由于他第1问题回答错了，小球经过这由自然数编号的无穷个点的过程可以完成。这个事实说明，自然数序列的形成过程可以完成。自然数没有最大数这个属性仍然是成立的。现代实无穷观成立，自然数集合是个确定的无穷集合。
另外林益先生问道: 【在薛问天老师的编号中，能够编出第 0 点， 第 1 点，第 2 点，第 3 点， ⋯， 第n点， ⋯，你认为在你的编号中，对应的是时间点和小球达到点，既然薛问天老师认为小球能够经过无穷个点达到时间终点 1 秒，达到距离终点 1 米，为什么薛问天老师不给 1 秒、 1 米编上一个号，放在薛问天老师自己的编号中，来体现无穷可达，作为现代实无穷观的实实在在的实例呢？来作为我的「自然数序列不可能完成」和「在不断延伸变化」 的反例呢？】
原因很简单，【为什么薛问天老师不给 1 秒、 1 米编上一个号】，因为根本不需要。 你只要认识到小球经过这由自然数编号的无穷个点的过程可以完成，你就必须承认自然数序列的形成过程可以完成。因而你的【自然数序列不可能完成】的观点就是错误的。显然，经历过程完成了，它就不能再延伸变化了，否则新延伸变化产生的点什么时候再去经过呢。因而你的自然数集合【在不断延伸变化】的观点也是错误的。
下面我们來分析新华先生的观点。
一，新华先生认为【康托尔集合论存在错误，即线段不是由点构成的。】言下之意是说，小球从0运动到1，经过的是[0,1]这个区间，是个线段，并没有经过区间中的任何点。当然没有经过这无穷个点。但新华先生没敢说小球没有经过这无穷个点，因为这个结论太可笑了，根本站不住脚。‘
二，以【小球经过任意一点的时间都是 0，】 和【小球经历了这无穷个点的【距离只能为 0，没有 1 米。】说我实例中断定小球经历了这无穷个点的结论【结果是错误的，表明线段不是由点构成的，】新华先生没敢说，但他的意思仍然是说小球从0运动到1，没有经历[0,1]区间中的这无穷个点。
三，新华先生用序列來说。他说【按照案例所给小球运动的规律， 小球运行的时间不可能达到一秒， 距离也不可能达到 1 米，虽然数列{tn}和{sn}的极限都是 1，但是这两个数列的极限都是不可达的。】新华先生对极限不可达的理解同林益先生一样，犯有同样的错误，极限不可达是序列tn,sn中n是有穷数，求极限时，n不可达到∞，序列中不含有1，并不是说小球不能达刭1点。新华先生不是知道我所指的这无穷点序列只是所经历【中点集的一部分】吗，序列中没有1，小球仍然可以达到1点。
我们的问题很简单，小球从0点运动到达1点，中间经历了0.9，0.99，0.999，...这些点。你能说没有经历吗？你从广卅坐高铁到北京，能说没经过长沙，武汉和郑卅吗？请问林益和新华先生，小球从0点运动到1点，你能肯定地说，它中间没有经过0.9，0.99，0.999，... 这些个点吗？请你明确回答。当时间在0.9秒时小球在哪里？当时间在0.99秒时小球又在哪里？怎么能说没经过这些个点。
其实在[0,1]区间中，存在很多可以用自然数编号的无穷序列，我所举的只是其中一个实例。例如，
0，0.1，0.11，0.111，...，0.11...1(n位)，...。
0，0.2，0.22，0.222，...，0.22...2(n位)，...。
......。还有
0，1/2，2/3，3/4，...，n/n+1，...。
等序列都是[0,1]区间中可以用自然数编号的无穷序列。小球从0点到1点，经过这些无穷点的过程都完成了。说明经历自然数的全部过程都是可以完成的，而且自然数没有最大数这个属性仍然是成立的。所以说只要认识了上述任何一例，就可断定【自然数序列不可能完成】的观点和自然数集合【在不断延伸变化】的观点都是错误的。
参考文献
Zmn-0606 薛问天： 区分两种实无穷观
Zmn-0613 一阳生： 对薛问天老师Zmn-0606中无穷观的评价
Zmn-0616 林 益： 读《区分两种实无穷观》有感
Zmn-0622 薛问天： 请问林益先生，如何用您的观点解释这个实例。评《0616》。
Zmn-0624 林 益： 回复薛问天《0622》
Zmn-0627 新 华： 从小球一秒匀速运行一米谈起.
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
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