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Zmn-0482 李振华：从超实数看一一对应和实数集的长度

已有 2152 次阅读 2021-3-14 08:43 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0482 李振华：从超实数看一一对应和实数集的长度

【编者按。下面是李振华的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

从超实数看一一对应和实数集的长度

李振华

学过康托集合论的人，都知道在这个理论中，无限集具有整体等于部分的性质。不过我要指出，假设无限具有整体大于部分的性质，服从有限数所服从的运算法则，并在此基础上进行推理演绎也是对的，这正是分析所采用的哲学。我个人的经验是，对某个涉及无限的问题，究竟是整体等于部分还是整体大于部分，不能一概而论，要具体情况具体分析，

康托用一一对应的方法处理无限集，并证明了无限集的元素个数和它真子集的元素个数一样多，部分等于整体，这些令人吃惊的结果在一开始就遭到了人们的反对。在这里，我们换一种视角来看一一对应，如果集合的基数是超实数，还能同它的真子集建立一一对应吗，能一一对应的还能是真子集吗？

在超实数中，无穷大定义如下：

1、绝对值大于任何有限数。无穷大的直观定义，不同于康托部分等于整体的变态定义。

2、服从有限数所服从的运算法则。不同于康托强调无限与有限不同，这里强调无限与有限相同。

无穷大的倒数就作为无穷小。0和无穷小的区别：在无穷个元素中选中一个元素，概率是无穷小，组合数是无穷大，在无穷个元素中选中0个元素，概率是0，组合数是1.

在超实数中，通常不会考虑所有整数的个数，所有实数的个数，所有超整数的个数，所有超实数的个数这类问题，通常会把这类问题看作无意义的问题。有意义的是服从有限数运算法则的无穷大。

基数为超实数的无限集是怎样来的？考虑集合{1,2,3,....,,n}，这里的n可以任意大，于是我们宣称n为无穷大(H)，这样一来，集合就变成{1,2,3,....,H-2,H-1,H}，这个集合就是超实数角度下的无限集。需要注意的是，H是这个集合的基数，但H并不是全体自然数的个数，因为集合中还有H,H-2,H-1,H/2+b(H/2)这些无穷大的元素。

我们知道，正整数通过m=2n和正偶数一一对应。

{1,2,3,...,}

{2,4,6,....}

那么从超实数的角度看这是怎么回事？不妨设A={1,2,3,...,2H}。谁与A一一对应？

A={1,2,3,...,2H}

B={2,4,6,...,4H}

显然，B不是A的一部分，因为4H,4H-2,4H-4,...是B的元素不是A的元素。如果设C={2,4,6,...,2H}为A的真子集。

A={1,2,3,...,H,H+1,H+2,...,2H}

C={2,4,6,...,2H}

A中的2H-1,2H-3,2H-5,...是C无法对应到的元素。

我们知道，[0,1]中的实数通过y=2x与[0,2]一一对应。从超实数看来是怎么回事？不妨设A={1/10^H,2/10^H,3/10^H,.....,1-2/10^H,1-1/10^H,1}。A中的超实数可以写成0.a1a2a3.....aH-1aH，按照y=2x的法则所对应到的超实数，其H位的数值为0,2,4,6,8，缺少1,3,5,7,9(0对0,1对2,2对4,3对6,4对8,5对0,6对2,7对4,8对6,9对8）。这就是说，与A一一对应的集合根本不可能包括A。

我们知道，康托证明了连他自己都不相信的结论：线上的点和面上的点一样多。那么从超实数的角度看，这又是怎么一回事呢？考虑单位正方形和单位线段，不妨设A={1/10^(2H),2/10^(2H),3/10^(2H),.....,1-2/10^(2H),1-1/10^(2H),1}。

按照康托的对应法则，(0.a1a2a3....aH,0.b1b2b3...bH)对应0.a1b1a2b2a3b3...aHbH。AxA的(0.a1a2a3...aH+1aH+2...a2H,0.b1b2b3...bH+1bH+2...b2H)是A无法对应到的元素。

没有部分等于整体的神话，只有整体大于部分的常识。

在这里需要注意的是，上面提到的A，AxA这些数集，它们是没有长度的。从超实数的角度看实数集也是没有长度的。维塔利集，巴拿赫塔斯基悖论，不可测集，可以看作假设实数集长度大于0所产生的灾难性结果。如果实数集的长度为0，那么那些悖论和不可测集都不存在。数集和连续的线段是不能等同的。就像伽利略所说的那样，线段虽然包含着无限个点，但点和点之间还有间隔，无限个点是没有长度的，无限个无限小的间隔才能产生长度。皮尔士则认为，连续线段所包含的的点数，不仅远远超过了实数的个数，也远远超过了任何超限基数。我倾向于认为，线段上有多少个点是一个没有意义的问题，有意义的是将线段分成无穷多份，这里的份数是超实数中的无穷大，每一份的长度是超实数中的无穷小，讨论长度应该基于无穷小的线段而不能基于点。

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