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Zmn-0293 薛问天:芝诺推论同调和级数的差异巨大-评欧阳先生的《0290》

已有 570 次阅读 2020-8-26 08:10 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0293 薛问天:芝诺推论同调和级数的差异巨大-评欧阳先生的《0290》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0290》欧阳耿先生的文章评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

芝诺推论同调和级数的差异巨大

-评欧阳先生的《0290》

 

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg (一),要坦诚直率地表达自己的㸔法

欧阳耿先生在《0275》中说【新发现的调和级数悖论】,【我们目睹了一个活生生的芝诺悖论现代翻版的典型案例】,【Un --->0 的调和级数中得到多少个10000000000 的数,有穷多个(为什么、多少个)或无穷多个(为什么)?不管哪种答案都会产生悖论!】这明确说明欧阳耿先生他的观点,是认为调和级数是悖论,是【新发现的悖论】。

可是在《0290》中却问【究竟是否存在调和级数悖论】,提出了三种不同的观点,而他自己却超然地未置可否,未能或未敢说出自己的看法。说这是【在哲学领域和数学领域中持该观点的人认为】【调和级数悖论确实存在】。自己躲在背后,借别人之口来说自己的观点。其实这样做完全没有必要,自己有什么观点,完全可以坦诚直率地表达出来,反对什么赞成什么,说出你反对或赞成的理由和根据,大家一起来探讨。不要惧怕争论,惧怕出错,改正错误是好事。讨论的目的就是为了修正错误追求真理,求得共识和共同进步。

 

 (二),重点要讲清道理

在讨论中当然首先是要明确我们讨论的问题,和确切地表明自己的观点,再下来就是讲清道理了。

例如我们讨论的问题是【调和级数是不是悖论】,即【是否存在调和级数悖论】。欧阳耿先生的观点是【调和级数是新发现的悖论】。 薜问天的观点是【调和级数不是悖论】。接下来就应该讲道理了,来具体论证调和级数是不是悖论了。

我在《0283》中说了如下这段话。 〖欧阳先生说调和级数是悖论,并没有讲任何理由,未做任何论证。数学是一门逻辑缜密的科学,你作出的任何一个论断,都要有根有椐,提出你的论证来。

这里涉及两个问题。一是什么是悖论,满足什么条件才称得上是悖论?关于这点,我们有我们的看法,那就是我在《0192》和《0278》多次强调的论三要素,「出矛盾,逻辑正确和隐含假定。」特别是「推出矛盾」这一条。如果没有推出矛盾,那肯定是算不上是悖论的。

任何一个悖论都要有推出的矛盾。所谓推出矛盾就是推导出命题A和乛A同时成立。或者由A推出乛A,而且由乛A推出A来。例如说谎者悖论。【本语句说的是假的】。用A来表示此语句。显然如果A为真,则根据句子所述的语义,可推出A为假。如果A为假,则可推出A为真。于是推出矛盾。〗正是由于推出矛盾,我们才可能称其为悖论。

也就是说判断某推论是否是悖论,首先要认清称为悖沦的条件和标准是什么。接下来的第二个问题才是用悖论的判断标准来判断调和级是否是悖论。 我接着说:〖按我们关于悖论的三要素的标准来判断,调和级数中没有推出任何不解的矛盾命题。从而调和级数不是悖论。欧阳耿先生说【新发现的调和级数悖论】没有根据,是不符合事实的,不能成立。〗

我最后向欧阳耿提出了一个问题: 〖不知欧阳耿先生是怎么认识悖论的,在欧阳先生的心目中,满足那些条件就可构成悖论。这点必须首先明确。接下来才能谈论和判断一个事物是不是悖论的问题。〗 但是欧阳耿先生对此问题至今没有作出任何回答。既然是讨论就应该回答对方的提问。

 

 (三),逻辑上【推出矛盾】,同哲学上【存在矛盾】,是两回事

欧阳先生沒有对称为悖论的标准和条件发表他自己的看法,但是在借别人之口论述调和级数是悖论时,也强调了其中存在着矛盾,但不是我们说的在逻辑上推出具体的矛盾命题A∧乛A,而是论述存在抽象的哲学上的矛盾,如理论和实际的矛盾,有穷和无穷的矛盾等。这些哲学上的矛盾是普遍存在的,它并不构成悖论。而构成悖论的条件之一的是在逻辑上「推出矛盾」,即推出一个具体的矛盾命题。

(1),理论和实践是矛盾的统一

认知论属哲学范畴,数学中对无穷集合的认知,当然要符合哲学上的认知规律。由于人类受时空的限制,人类对无穷集合的认知,不可能完全通过它的直接感观,无穷集合的所有元素不可能一个个地全部呈现在你的面前。但是人类还是可以聪明地通过理论推理来认知无穷集合的存在的。所以说应该认识到,理论和实践的结合,这个矛盾的统一不仅不是【认知领域中一直悬而未决的基础理论缺陷】,而是人类在认知领域基础理论中的一个最伟大的贡献,体现了人类文明的巨大进步。相反片面地,只承认实际或只承认理论在认知中的作用,才是认知领域的真正灾难。

欧阳耿先生说【……”认知领域中一直悬而未决的基础理论缺陷:“理论上可以用加括号操作法从 Un --->0 的调和级数中得到无穷多个大于 10100000 的数项,从而将 Un --->0 的无穷常减调和级数变成一个 Un --->10100000 的无穷常增级数,但实际上完全不可能的调和级数悖论】。欧阳先生没有讲清楚,他所讲的【实际上完全不可能的】指的是什么意思。要知道无穷级数有无穷多个项,它的所有的项在实际上不可能一个一个地全部都呈现在你的面前。无穷级数本身的存在都是通过理论推论出来的,而不是通过你的眼晴实际上直接看到的。难道你的认知领域连无穷的调和级数的存在也不承认了吗?欧阳先生在这里犯了否定认知系统中理论和实际的矛盾的辩证统一性的错误,片面地强调了实际的作用而忽视了理性推理在认知过程的重要作用。

(2),潜无穷和实无穷是观点之争,并不是过程和内容的矛盾

欧阳先生说:【但实际上完全不可能的调和级数悖论,揭示的是“无穷过程(进展中的无穷、潜无穷)”与“无穷过程中实际内容(完成了的无穷、实无穷)”之间的矛盾------作为芝诺悖论大家族成员之一的调和级数悖论是对人类智力的挑战。】

必须要纠正一下,潜无穷与实无穷是两种对无穷的观点之争,并不是欧阳先生所理解的是【无穷过程(进展中的无穷、潜无穷)”与“无穷过程中实际内容(完成了的无穷、实无穷)”之间的矛盾。】潜无穷观者认为无穷集合(如全体自然数的集合)的集合生成过程永远不能完成,因而不承认全体自然数这样的无穷集合是个确定的集合。实无穷观者认为,既然是全体自然数的集合,这个集合中就包括所有的自然数,因而集合的生成过程己经完成。承认无穷集合是个确定的集合。因而潜无穷与实无穷是两种观点的对立,而不是无穷的【过程】和【内容】的矛盾。

而调和级数是用部分和的极限来定义这无穷项的和。承认无穷级数作为一个确定的数学对象,这本身就蕴含着必须持有实无穷观。潜无穷观者根来就不承认无穷级数是个确定的数学对象,怎么还会去讨论无穷级数的和呢?潜无穷观者不会参与调和级数求和问题的讨论,所以说,还里没有两种无穷观的对立。而是认可还是不认可「调和级数的和是用部分和的极限来定义」的问题。而欧阳耿先生曾表态,他认可这个定义。

 

 (四),极限理论中没有逻辑矛盾

欧阳先生说:【现有经典极限思想、极限论基础理论缺陷决定了自古以来与“无穷”相关数学事物定量认知工作中两大悖论家族的存在:】他认为一个是【庞大的、悬而未决的芝诺悖论家族;】,一个是【庞大的、悬而未决的贝克莱悖论家族】。欧阳耿先生认为调和级数悖论属于第二悖论家族。我们来看看他是怎么说的。

欧阳先生说:【(b)在整个定量认知过程中,突然间有人对“X--->0 数量形式”喊了声“令”或“取极限”或“取标准数”,所以“X--->0 数量形式”就突然变成太小了以至于必须从算式中离开(消失),这种问题也是自古以来一直就存在于数学中,只不过是到了贝克莱时代才由他编了个贝克莱悖论,尖锐、勇敢地指出这种做法不够科学、无法自圆其说而已,这类案例已经形成一个庞大的、悬而未决的贝克莱悖论家族;】

 (1),要正确认识极限概念

这段话充分暴露了欧阳耿先生缺乏对极限概念的正确认识。什么是极限,极限分函数的极限和序列的极限。函数的极限是说有函数y=f(x),当x无限趋近于a时,y=f(ⅹ)无限趋近于b,记作当x→a时,f(x)→b。欧阳先生把其中的「当x无限趋近于a时」,这个条件说成是【突然间有人对“X--->0 数量形式”喊了声“令”或“取极限”或“取标准数”】。这种阴阳怪气的形容,不知是何用意,为何要对此条件如此加以贬责。更何况x无限趋近于a,只是它的极限是a,并不是x本身就等于a,这是对极限的最基本的认识。可欧阳先生却说是【就突然变成太小了以至于必须从算式中离开(消失)】。把ⅹ→0,x无限趋近于0理解为x变成必须从算式中消失的0,这是对极限理论的严重误解。

(2),欧阳先生本末倒置,让貝克莱悖论和极限理论的产生穿越了时代。

欧阴耿先生太有趣了,竟然在这句话中本末倒置,让貝克莱悖论和极限理论的产生穿越了时代。我们知′道,柯西(1789-1857)于1821年出版的《分析教程》中,开始有了极限概念的基本明确的叙述。也就是说这是正规的极限理论开始建立的时间。如果按欧阳的观点,极限理论有问题,x→0变成了x=0,那也只能是十九世纪1821年以后的事,怎么能说是【这种问题也是自古以来一直就存在于数学中,只不过是到了贝克莱时代才由他编了个贝克莱悖论,......。】贝克莱时代是什么时候。1734年,大主教乔治·贝克莱以 “渺小的哲学家”之名出版了一本书。在这本书中,贝克莱对牛顿的理论进行了批评,指出了在求导过程中,存在无穷小量Δx既等于0又不等于0的矛盾,后人称其为贝克莱悖论。贝克莱悖论早于柯西的极限理论八十多年。同欧阳耿先生所说的恰恰相反,不是【贝克莱悖论,尖锐、勇敢地指出这种做法不够科学、无法自圆其说】,而事实是柯西开始的严格极限理论消解了第一代微积分中求导过程中的贝克莱悖论。 欧阳先生在这里犯了本末倒置的错误,错让貝克莱悖论和极限理论互反地穿越了时代。

另外,极限理论所建立的第二代微积分早己经完全地消解了贝克莱惇论。欧阳先生现在还说贝克莱悖论是【悬而未决的】,显然是落伍了,没有跟上时代前进的步伐。

 

 (五),芝诺推论同调和级数的巨大差异

欧阳先生接着在谈到调和级数时写道:【我们目睹了一个活生生的芝诺悖论现代翻版的典型案例】。首先要说明,【芝诺悖论】,是在人们对什么是【悖论】还没有研究清楚之前,对芝诺推论的一种称呼。当现代数学界己经搞清楚悖论的三要素后,认识到:所谓的【芝诺悖论】不是现代意义下的【悖论】。所以我称其为「芝诺推论」。关于这点,本文未展开详细讨论,只集中讨论调和级数不是论的问题。

既使如此,本文也认为调和级数同芝诺推论的差异巨大,并不构成什么【翻版】。它们的巨大差异是「芝诺推论」是2000多年前,古希腊人做出的一个错误的推论:断定【阿基里斯永远追不上乌龟】是错误的。而「调和级数定理」是当代人用严格的数学方法(极限理论)证明的一个正确的定理,断定「调和级数的和是无穷大」是正确的。这两者根本没有可比之处,所谓【我们目睹了一个活生生的芝诺悖论现代翻版】,纯属欧阳先生牵强附会的臆想和虚构。

 (1),「芝诺推论」是错误的推论

欧阳先生错误地认为芝诺推论【成功应用极限思想、极限论对“阿基里斯追不上乌龟定理”的严格数学证明:......。尽管善跑的阿基里斯步伐可以越大越快(甚至可以是喷气式飞机的速度),但是在理论上乌龟将永远在他的前面...... 。所以那里的阿基里斯永远追不上乌龟 ,......。】 欧阳先生说芝诺推论【成功应用极限思想、极限论对“阿基里斯追不上乌龟定理”的严格数学证明】,这纯属天方亱谭,2千多年前哪有什么【极限论】。还说是【成功应用】。何曾对“阿基里斯追不上乌龟定理”给出过【严格数学证明】

 (2),「芝诺推论」並没有能推出【阿基里斯永远追不上乌龟】

仔细分析芝诺推论,它最后真正推出的结论应该是【在阿基里斯没有追上乌龟以前,阿基里斯追不上乌龟】而并不是【阿基里斯永远追不上乌龟】。因为在推论中有无穷个阿基里斯必经的起点,而这无穷多个起点都是′【在阿基里斯没有追上乌龟以前】的点,这些起点都是乌龟先到达,然后阿基里斯再到达,而此时乌龟又向前爬了一段。可见这些点都是′【在阿基里斯没有追上乌龟以前】的点。推论之所以认为【阿基里斯永远追不上乌龟】,是因为当时没有极限论,不知无穷级数的和是多少。错误地认为阿基里斯经过这无穷个点需要无穷的时间,所以才得出【阿基里斯永远追不上乌龟】的错误结论。阿基里斯经过这无穷个点,果真需要无穷的时间吗?我们可以用极限理论和无穷级数求和的方法严格证明,不需要无穷的时间,只需有限的确定的时间,阿基里斯就可经过这无穷个点,从而追上和超过乌龟。

 (3),用极限理论修正「芝诺推论」,证明「阿基里斯可以追上和超过乌龟

我们现在来用无穷级数求和的方法,来计算阿基里斯经过这无穷个点,不需要无穷时问,究竟需要多长时间。假定阿基里斯的跑步速度是V(米/秒),而乌龟的爬行速度是V/10,开始:起跑时乌龟领先的距离是s1。

显然阿基里斯跑完这段距离s1所化费的时间是t1=s1/V。当他跑完这段s1后,乌龟又领先他的距离是s2=s1/10。

显然阿基里斯跑完这段距离s2=s1/10所化费的时间是t2=s2/V=s1/10V=t1/10。当他跑完这段s2后,乌龟又领先他的距离是s3=s2/10=s1/102

显然阿基里斯跑完这段距离s3=s1/102所化费的时间是t3=s1/102V=t1/102

......余此类推,阿基里斯跑完这第n段距离sn=s1/10n-1所化费的时间是tn=s1/10n-1V=t1/10n-1。 于是可以算出阿基里斯跑完这无穷个点时,所化费的时间是

T=t1+t2+t3+...+tn+......=t1+t1/10+t1/102+...+t1/10n-1+......。

根据无穷级数的和等于部分和问极限可以算出T=t1(1.111......)=t1(10/9)。

亦即用极限理论修正了「芝诺推论」后,即可严格证明:经过有限时间T后,阿基里斯就可经过无穷个点,追上并超过乌龟。

所以说欧阳先生所说的【尽管善跑的阿基里斯步伐可以越大越快(甚至可以是喷气式飞机的速度),但是在理论上乌龟将永远在他的前面......。所以那里的阿基里斯永远追不上乌龟 ,......】这段话是相当错误的。不是【乌龟将永远在他的前面】【阿基里斯永远追不上乌龟】,而是在一个有限的时间T之内【乌龟在他的前面】【阿基里斯还没有追上乌龟】,过了这个有限的时间T后,阿基里斯就追上和超过乌龟了。阿基里斯跑得越快,这个追上的时间丅则越短。

(4),既使同修正后的「芝诺推论」相比较,仍然差距很大

我们把调和级数同修正后的「芝诺推论」相比较,仍然差距很大。尽管修正后的「芝诺推论」同调和级数求和都用到了极限理论,用到了无穷级数求和的理论,而且是严格的数学计算和证明,但毕竟是不同的问题,。特别是一个要证明无穷级数的收敛性,即和是有限数。而另一个是要证明:调和级数的和是无穷大。差距很大没有可比性。

欧阳先生所做的对比【阿基里斯就是这个证明中的多项式加括号操作法 ,而乌龟就是调和级数】,牵强附会,没有任何意义,也不能说明任何问题。

说来说去也不知欧阳先生所说的【悬而未决的问题】是什么,【调和级数悖沦】是什么?不是己经严格证明了,欧阳先生给出的任意大的数如1010,10100000,......等,在调合级数中都含有无穷多个括号括起来等于这个大数的项。另外Un→0的调和级数的和是无穷大,当n充分大后Un=10100000的无穷级数的和也是无穷大。这都是可以严格证明的论断,这有什么矛盾,能使欧阳先生认为它是悖论呢?

我希望欧阳先生不要用别人之口,也不要用诸如【活生生...】这些别人毫无感觉的形容词来形容,而是要坦诚直率地表达出自己的看法,讲出

①,你认为的称为悖论的标准和条件是什么?

②,你认为悬而未决的【调和级数悖论】到底指的是什么?

③,具体讲出你认为调和级数是悖论的理由。

(全文完)




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