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“顶点作乘法代表所在的边”

已有 712 次阅读 2019-2-2 21:14 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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今日学院:数学与计量经济学院(湖南大学)。新闻|| 新闻+ || 符号大全上下标.|| 常用:↑↓ Σ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ xi ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ 

“顶点作乘法代表所在的边”。
(接上回温习:projection formula
π*(A·E) = π*(G·E) = π*E
---- 原作从这个公式出发得到了归纳形式:
---- π*(Ai·E) = Hi·π*E
---- 问题:他是怎样想到的呢?
---- 这里头有没有普遍原理?
.
观察:第一个公式中,π和 E 不变。
---- 或者说,每个式子都有它们的身影。
---- 但看两头,A 的关系转化为 H 的关系。
---- 为看清结构,去掉π*得:(A·E) = H·E.
.
抽象:受如上观察启发,考虑三个对象。
---- 这三个对象可以是任意的 (不限于代数几何)。
---- 方便起见沿用刚才的记号。
.
简化:简单起见,再去掉括号:A·E = H·E.
---- 观察这个结构,容易想到:凡是“摘除枝叶”后具有上述形式都可以考虑迭代/归纳
---- “枝叶”是指映射、系数,等。
---- “摘除”是指这样的操作:直接去掉。
---- “上述形式” 是指,两头的符号存在交集。
---- “两头” 关系不限于等式,如不等式或别的。
.
举例:考虑 A、H、E 是矩阵的情形。
---- 假设 E 不可逆(更不是单位阵)。
---- 按照上面的“原理”,可以考虑迭代/归纳:
---- 假设 Ai·E = Hi·E 成立。
---- 则 Ai+1·E = A·Ai·E = A·Hi·E
---- 槽糕,右边的 A 无法实现H的转化!
---- 换句话说,这里头必须得有个映射!
---- 给“原理”打个补丁。
.
返回:(A·E) = H·E
---- 括号代表某种映射(不能去掉)
---- 从括号里取出的非E符号会转化为另一符号。
---- 不在括号内的 E 视作 (E) 简写。
---- 假设 ( Ai·E) = Hi·E 成立。
---- 则 (Ai+1·E) = H·(Ai·E) = H·Hi·E = Hi+1·E.
.
评论:形如 (A·E) = H·E 的式子是 “可归纳的”(不限于等式)
---- 忽然想到,为何是 “projection formula”?
---- 把 E 看作锐角顶点,A 和 H 是另两个顶点。
---- H 是直角顶点,A 是另一锐角顶点。
---- 顶点作乘法代表所在的边。
---- 于是,绿色公式代表的几何意义是:
---- 斜边边 A·E 的投影是直角边H·E.
---- H 是 A 的 “垂足”。
---- 此时括号代表投影算子。
---- 归纳/迭代的几何意义待考。
---- 原公式中的G或是A的对称点(E是中心):
 A         G
  |\    /|
  |  \/  |
H   E   H'
---- 暂时能说得通。猜测:π*E= E.
.
小结:以上是第七段的温习(命题5.2证明)。


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1 郑永军

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