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“顶点作乘法代表所在的边”
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“顶点作乘法代表所在的边”。
π*(A·E) = π*(G·E) = H·π*E
---- 原作从这个公式出发得到了归纳形式：
---- π*(Ai·E) = Hi·π*E
---- 问题：他是怎样想到的呢?
---- 这里头有没有普遍原理？
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观察：第一个公式中，π* 和 E 不变。
---- 或者说，每个式子都有它们的身影。
---- 但看两头，A 的关系转化为 H 的关系。
---- 为看清结构，去掉π*得：(A·E) = H·E.
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抽象：受如上观察启发，考虑三个对象。
---- 这三个对象可以是任意的 (不限于代数几何)。
---- 方便起见沿用刚才的记号。
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简化：简单起见，再去掉括号：A·E = H·E.
---- 观察这个结构，容易想到：凡是“摘除枝叶”后具有上述形式都可以考虑迭代/归纳。
---- “枝叶”是指映射、系数，等。
---- “摘除”是指这样的操作：直接去掉。
---- “上述形式” 是指，两头的符号存在交集。
---- “两头” 关系不限于等式，如不等式或别的。
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举例：考虑 A、H、E 是矩阵的情形。
---- 假设 E 不可逆（更不是单位阵）。
---- 按照上面的“原理”，可以考虑迭代/归纳：
---- 假设 Ai·E = Hi·E 成立。
---- 则 Ai+1·E = A·Ai·E = A·Hi·E。
---- 槽糕，右边的 A 无法实现H的转化！
---- 换句话说，这里头必须得有个映射！
---- 给“原理”打个补丁。
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返回：(A·E) = H·E
---- 括号代表某种映射（不能去掉）：
---- 从括号里取出的非E符号会转化为另一符号。
---- 不在括号内的 E 视作 (E) 的简写。
---- 假设 ( Ai·E) = Hi·E 成立。
---- 则 (Ai+1·E) = H·(Ai·E) = H·Hi·E = Hi+1·E.
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评论：形如 (A·E) = H·E 的式子是 “可归纳的”（不限于等式）。
---- 忽然想到，为何是 “projection formula”？
---- 把 E 看作锐角顶点，A 和 H 是另两个顶点。
---- H 是直角顶点，A 是另一锐角顶点。
---- 顶点作乘法代表所在的边。
---- 于是，绿色公式代表的几何意义是：
---- 斜边边 A·E 的投影是直角边H·E.
---- H 是 A 的 “垂足”。
---- 此时括号代表投影算子。
---- 归纳/迭代的几何意义待考。
---- 原公式中的G或是A的对称点（E是中心）：
A G
|\ /|
| \/ |
H E H'
---- 暂时能说得通。猜测：π*E= E.
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小结：以上是第七段的温习（命题5.2证明）。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1160468.html
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