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Zmn-0525 薛问天:微分也是差分,是切线函数的差分(即增量),评新华《0462》和评林益《0520》

已有 1228 次阅读 2021-4-8 19:44 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0525 薛问天:微分也是差分,是切线函数的差分(即增量),评新华《0462》和评林益《0520》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对新华先生《0462》和林益先生《0520》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

微分也是差分,是切线函数的差分(即增量),

评新华《0462》和评林益《0520》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg目前有很多人对在数学分析中为什么令dx=Δx不理解,甚至认为这是微积分理论的错误。主要原因是他们对微分的概念没有理解清楚。对微分概念理解清楚了,为什么令dx=Δx的原因就理解清楚了。

我们知道任何函数y=f(x)在x点都有差分Δy,即函数增量 ,它是自变量增量Δx的函数。如果函数f在x点有切线函数,则此切线函数在x点的差分,即函数增量,它就是微分dy,它是切线函数的自变量增量dx的函数。很多人对微分是切线函数增量的这个含义了解得不很清楚。

函数f的差分Δy是Δx的函数,切线函数的差分dy是dx的函数。为了研究Δy同dy的数量关系,好比较它们的数值。就令它们的自变量增量相等,就令dx=Δx。它的原因就这么简单。但要对微分是切线函数增量的这个含义要有足够了解。

有两个函数,一个是q=φ(s),一个是r=ψ(t)。要研究φ和ψ的关系,就令s=t,直接比较φ(t)和ψ(t)就行了,就是这个道理。下面我们作些具体分析。

 

(一),微分是切线函数的差分。

我们知道任何函数y=f(x)在x0点都有差分Δy ,它是Δx的函数。即令Δx=函数f的自变量增量,Δy=f(x0+Δx)-f(x0)就是函数的增量。也就是说函数的差分,表达的是函数的增量同其自变量的增量之间的函数关系。Δx是f的自变量的增量,Δy是f的函数的增量。

如果函数f在x0 点有切线函数y=g(x)=f(x0)+k(x-x0)。显然此切线函数g(x)在x0 点的差分就是微分dy,它是dx的函数。因为令Δxg=切线函数g的自变量增量,g的差分Δyg,即g的函数增量Δyg=g(x0+Δxg)-g(x0)=kΔxg。由于切线的斜率k等于函数f在x0点的导数k=f'(x0),所以切线函数g的差分,即其函数增量Δyg就是dy,Δxg就是dx。完全滿足dy=kdx=f'(x0)dx。所以说微分dy就是切线函数的差分,亦即切线函数的函数增量,它是自变量增量的函数。dx是切线函数的自变量增量,dy是切线函数的函数增量,它们的函数关系是dy=kdy=f'(x0)dx。

 

(二),令dx=Δx的原因。

函数f的差分Δy是Δx的函数,切线函数的差分dy是dx的函数。为了研究Δy同dy的数量关系,就令dx=Δx。原因就这么简单。

我们看它们的几何图片,就很清楚。图中用蓝色曲线表示函数f,用红色曲线表述它在x0=1点的切线函数。如果dx同Δx不相等,就无法讨论Δy同dy的关系。

tu001.jpg

图1。如果dx同Δx不相等

 

而令dx=Δx,就可以将它们进行比较研究了。研究的结果是Δy=dy+o(Δx)。即dy是Δy的线性主部

tu002.jpg

图2。如果dx同Δx相等

 

(三),切线函数的分析表达: 主线性函数。

上面用了切线函数这个概念,切线这是几何概念。当然在数学分析中必须有它自己的表达。通过点(x0,f(x0)的线性函数有无数个。所选的这条,就叫主线性函数。即dy是Δy的线性主部。即要求Δy=dy+o(Δx),其中当Δx→0时,o(Δx)是Δx的高阶无穷小。当然在这里用到了Δy同dy的比较,就要令dx=Δx。

 

有了以上的认识就好评论林益和新华先生的文章《0520》和《0462》了

1,林益先生认为【微分是从微观的观点看待变量的变化问题, 差分是从宏观的观点看待变量的变化问题,】这种看法是不对的。

微分dy是切线函数g的差分,即切线函数的增量,它是切线函数自变量增量dx的函数。它同函数f的差分,即函数f的增量Δy,它是自变量增量Δx的函数。这在整体上没有原则区别,都是函数的增量,是自变量增量的函数。都可以宏观观察和处理,也可以微观观察和处理。我估计这又是林益先生从名称上的【微】【差】的字面含义上推论的。林先生应改变这种习惯,应从定义上去掌握概念的确切含义。另外为了比较dy和Δy,让这两个自变量的增量相等,dx=Δx,完全没有困惑的必要。

 

2,林益先生把Δx→0时Δy/Δx→dy/dx,作为【“dx=∆x”还是欠妥的。】的根据和理由,是不合逻辑的。这两者没有矛盾。

我不同意说【自变量的微分是没有意义的。】对于差分,Δy和Δx都有意义,那么对于微分來说,dy和dx也都是有意义的。dx是切线函数的自变量增量,怎么是没有意义的呢。只不过说【所谓‘自变量的微分’严格说来是没有意义的。”】如果是指,由于dx=Δx,如果所有的自变量微分dx都用Δx替代,我看也是可以的。

新华先生把恒等函数I(x)看作是程序语言中的赋值语句x=x,並不恰当。在这里把自变量看作是自变量的恒等函数,就是把数学上的y=I(x) 恒等函数,看作是其中的y解释成x,而构成的。这是自变量微分的一个等价定义,即把自变量x看作是自变量x的恒等函数x=I(x),等号左边的x看作因变量,右边看作自变量,用函数的因变量的方法求微分,由于I'(x)=1,求出dx=Δx。这是自变量微分的等价定义。定义等价,都是把自变量的微分定义成dx=Δx。

 

3,对于恒等函数I(x)=x,dI(x)=ΔI(x)=Δx,确实理解并不困难。

因为虽然“微分算子d”和“差分算子∆”,对于一般函数f,df(x)≠Δx,但是对于恒等函数由于I'(x)=1,所以dI(x)=Δx。这并不违反逻辑同一律规。自变量微分的等价定义就是这么作的,把自变量x看作是自变量x的恒等函教。

 

4,林益先生同意新华先生的意见说【已经定义“dx=∆x”,就应该定义“dy=∆y”,】这是完全不合理的要求。

dx=Δx这是自变量微分的定义,dy是因变量的微分,定义为Δy的线性主部。按照前面的解释,dy是切线函数的增量,Δy是f函数的增量怎么可以相等,但它们自变量的增量可以令其相等。

 

5,林益先生同意新华先生的说法【dx中的x=x0,显然∆x中的x≠x0,】不对。

dx和Δx就是x0点的自变量微分和自变量增量,而且相等。要注意"dx"和"Δx"是微分和增量的标记。不能讨论记号中的x等不等于x0的问题。

 

6,当然存在(x0+dx,f(x0+dx)),因为dx=Δx,代入就可理解。

微分也是差分,不过是切线函数的差分。也就是说Δx和dx都是自变量的增量,令其相等不会产生任何矛盾。

 

7,【定义dy=f′(x0)∆x】,一点问题都没有,微分就是切线函数的差分。而且dx=Δx。

新毕先生还没有完全理解,研究切线,即主线性函数,是微积分的重要研究内容。导数是切线的斜率,微分是切线的差分,即增量。都是紧紧地围绕切线的。

 

8,正因为自变量的dx=Δx,所以在确定是自变量微分dx的表达式中换成自变量增量Δx,是合适的。在确定是自变量增量Δx的表达式中换成自变量微分dx,也都是合适的。

但是在有些表示中dx不是作为自变量微分参与的,就不能替换成 Δx。因而积分符号中的dx就要特别注意,看它是不是自变量的微分,如果不是自变量的微分而是某函数因变量的微分,就不能换成Δx。因为微分有形式不变性,需要认清它实际的确切的属性。另外要注意dx=Δx相等可以替换,只是需要替换时才去替换。平时不需要时,并不去随意替换。

 



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