学：学生，教：教师，李：李晓榕

学：说回人工智能。我想，真正的人工智能就是算法智能。您前面说，算法智能就是可计算函数的智能，而可计算函数在函数集合中只是沧海一粟，简单得很。那么，强人工智能岂不是毫无希望吗？那为什么还有这么多极其聪明的人相信它，并为之奋斗呢？

李：虽然可计算函数在函数集合中只是沧海一粟，而且不少函数远远比它复杂，但是可计算函数绝不简单，可以非常复杂。可计算函数在数学上就是部分递归函数。它的主要威力在于能完成“递归”。什么是递归？比如，一个程序调用自身就是一种递归，在函数f的定义中包含f也是递归，数值迭代、递推估计、嵌套结构，等等，都是递归。递归不是整体与整体之间完全相同的循环或复制，而是不完全复制、不完全循环，每次复制循环都有新内容，其实质在于整体与局部之间存在环，即自身与自身的局部形成环。例如，阶乘通常按递归来定义：n!=(n-1)!n（且0!=1）；树的“树—种子—树—种子……”和“主干—分枝—细枝—更细枝……”的循环是递归；细胞分裂、基因复制、生物繁衍等不完全复制是递归；计算机程序中的各种非死循环的“环”（loop）也是递归；x_n+1= f_n(x_n)+3的迭代也是递归，x_n+1 = f_n(x_n, z_n)的递推还是递归。再如，作为整数之本质、算术系统之关键的数学归纳法，靠的完全是一种递归性；动态系统的状态变量表示（即动态方程），都是递归表示（这对离散时间系统特别清晰）。一个代数表达式内嵌多层代数表达式，世界地图—各国地图—各省地图—各市地图的嵌套，一个大电路由大量子电路嵌套组成，惯性导航的定位时间序列，这些都是递归结构。一句话，递归可以造成极其复杂的现象、系统和问题，且形式众多，随处可见。

学：老师能不能举一些更详细的例子说明一下？

李：正有此意。我想说说分形几何、混沌和人工生命。

       分形几何学靠递归这一强大的工具来研究几何图形，它是二十世纪数学最重要的进展之一。此前几何学研究的对象都是相当规则的人工（非自然）几何图形，而分形几何学的几何图形比较接近自然界中实际的几何图形。例如，一根树枝及其分枝以及分枝的分枝，它们的几何图形虽然都不规则，但除了大小差异外，却都很相似。高层单元由相似的低层单元按与低沉结构相似的结构构成，这种枝上之枝逐层嵌套自我复制、自我相似的模式就属于递归。分形几何靠的就是这种不断嵌套的不完全自相似，这种带破缺的自相似是“分形”（fractal）名称的由来，以区别于规则形状的“整形几何”“规则几何”。这种外在形状的自相似性根植于内在关系的递归性（但递归并不要求整体与递归的局部相似）。分形几何学正是抓住了这一本质，才能有效地刻画大量复杂的自然事物，完成数学的一大飞跃。差不多可以说，分形几何学的结果是唯一一类人工产品，它们与自然事物可以达到“酷似”的程度。许多生命现象，如基因的复制、干细胞的万能能力、克隆的可能性，乃至生物全息律，都可以从分形几何的自相似性、特别是其递归实质来近似理解。

        分形几何在多个方面突破了还原论。还原论坚持简单性，其整形几何的图形都是比较简单规则的，而分形几何的图形远为复杂。还原论认为，低层比高层更深刻，部分比整体更简单，而分形几何的整体（高层）与其某些局部（低层）极其相似，所以同等深刻，也同样复杂。还原论不但忽视整体性态，而且轻视局部与整体之间的联系。分形几何所依赖的自相似，无疑是一种局部与整体之间的联系。当然，它同时表明，整体论的大众版本“整体大于部分之和”也未必成立。

   混沌理论与分形几何密切相关，它研究混沌。混沌是混沌系统“差之毫厘，失之千里”的这么一种现象：初始条件的微小改变，一段时间后会导致系统行为的巨大变化。一个常用的生动例子是：巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，就在美国加州引起一场龙卷风。对于我们的讨论，相关的关键是，混沌的产生，离不开递归（循环、递推、迭代等）。依靠迭代、循环等递归，非随机的简单模型就能产生极其复杂的混沌。例如，由十分简单的确定型递归模型（如迭代方程），就能得到很多极其复杂的混沌图案，稍微改变初始值，图案就会完全不同，毫无共性。一个著名例子是虫口模型x_n+1 = ax_n(1-x_n)。要不是递归可能复杂至极，又怎会如此？

学：经常听到说混沌，但不知道它到底是什么。混沌到底是什么？您能不能解释一下？

李：关于混沌，至今没有普遍接受的严格定义，一般认为它是非线性复杂动力系统中局部不稳定的非周期现象，是对初始条件极度敏感的高度不规则行为。初始条件的微小改变，可能导致一个混沌系统行为的巨大变化，即所谓“差之毫厘，失之千里”或者“千里之堤，溃于蚁穴”。

       人们往往把初始条件当做是系统行为结果的“因”，认为混沌意味着由“因”无法预测“果”。的确，微分方程和差分方程是对付动态过程的数学工具。它容易误导患有线式因果逻辑强迫症之人简单地认定，初始条件是动态行为的原因，因为初始条件先于动态行为，而“因”总是先于“果”的。其实，当混沌由非随机简单模型产生时，离不开递归，其实质是“因果”的循环。倘若要追究混沌现象的起因，与其说是初始条件，不如说是这种递归，它根植于系统（即方程）的结构本身。因果律并非放之四海而皆准、行诸百世而不悖。因果关系是科学观念的关键基础，但与其他概念一样，其价值在于思维的经济性和简约性，在不少情况下可以大大简化思维。当所谓“因果关系”这么复杂时，还墨守成规，抱残守缺，固执地认定它们是“因果”，自讨苦吃，究竟何益？

      简单与复杂、规律与不规律，并非势不两立，绝不可共处。混沌现象和随机现象都集规律性和不规律性于一身， 集简单性和复杂性于一身，它们彼此形成一种有趣的镜像对称：随机现象在微观个体上缺乏规律性，行为复杂、完全随机无序，但因大数定律和极限定理，大量个体（并行）组成的宏观总体却呈现出概率统计的规律性和简单性，满足一定的分布。一般都按这种随机现象的方式来理解量子行为与量子力学以及宏观物理学之间的关系。就像其镜像一样，产生混沌现象的微观层面——每一步迭代（递归）——都有完全确定的规律，十分简单，但大量这些微观步骤（串行）组成的总体却在宏观上表现出混沌性、不可预测性这些不确定性和复杂性。不少自然界和人类社会的复杂现象可以理解为混沌现象。

       混沌系统演示了递归能导致高度复杂性和不可预测性，分形几何展示了递归能导致高度自然性（与自然界事物的高度相似性）、非人为性。人工生命可以说是它们的二位一体，既体现了生命的复杂性、不可预测性，又蕴涵着生命的极度自然性、非人为性。作为人工智能的一大分支，人工生命靠算法的递归来形成其“生命”的演化，人工生命中的递归操作对应于真实生命中的细胞分裂和自我复制。可见，人工生命的“生命力”，全靠递归，它体现了递归的威力。人们认为只有生命才有的一些特征，迄今已经为人工生命所具有。要不是递归的威力之大，又怎会如此？不过，纵然有朝一日人工生命到了与自然生命不可区分的程度，从简单生命到人类智能，相距仍有万水千山。

       递归在众多其他领域，也有重大作用。它在逻辑、算法、形式系统以及计算机中的角色和作用，我推荐侯世达的名著《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》（Dougalas Hofstadter, Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid）。此书洋洋洒洒，深入浅出，多方面（特别是包括音乐和美术等）生动有趣地讨论了递归，很值得一读。此外，哥特式和巴洛克式的欧洲中世纪和文艺复兴时期建筑也可以说具有递归结构，其基本风格是重复使用同一形状大小不同的图形。大量艺术作品也内含递归结构。

正在出的博文系列：

与师生谈人工智能：

1.智乎哉？                      2. 奢求精确之误                3.精确定义之病            4.图灵测试     5.强人工智能

6. 能而欠智                      7.深度学习的短板       8.深度学习对老牌AI         9.深度学习的实质 10.与外界交互

11. 环境之复杂                 12. 系统≠内部元素及联系     13. 总影响≠直接影响+间接影响      14. 总体≠部分之和   15. 分析还原的威力

16. 还原论科学的威力所在   17. 宇宙的本性                          18. 实验：超实？欠实？            19. 技术的威力      20. 现代人造的新主人？

21. 递归的威力

与师生谈现代化之弊

1：崛起的代价     2：发展必好无疑？    3：发展的恶果     4：科技进步果真进步？         5：科技的罪责 

6：开发进步善哉恶哉？7：现代化恶果之因    8：现代化恶果之因2  9：资本主义与个人主义   10：资本主义的修正与回潮

11：全球化的好歹   12：全球化的好歹     13：西化、现代化、全球化 14：现代化的本质      15：文化全球化？

16：妈的奶贼腥        17：多元优越             18：四大主义      19：“化私为公”的隐形手   20： 进步的魔咒

21：进步的陷阱    22：进步的后果       23.成功的反噬     24：进步的残酷                  25: 进步到恶神末日

26：自造成恶神

与师生漫谈科研文化

1：我有科研之才吗？  2：我该做科研吗？ 3：逻辑推理的作用 4：人生价值     5：生命的延续         

已出博文系列：

与师生谈科学之弊

1：线式因果思维1      2：线式因果思维2     3：线式因果思维3         4：螺环之奇妙                 5：幻化的因果 

6：不牢靠的因果推理        7：分析还原病       8：还原论教条                    9：基因未必基因      10：割根裂本

11：强拆硬分        12：科学的领地       13：科学的致命伤         14：科学的致命伤2           15：逻辑之可错

16：逻辑可错之源       17：“脚踏实地”的逻辑？18：逻辑：真理焉？宗教焉？       19：想不清原理       20：想不清原理2

21：逻辑教的改革    22：逻辑教的改革2     23：精确性的终结         24：科学哲学                  25：务外逐物 

26：科学六弊                 27：科学之弊总结

与师生谈科研选题：
1：科研的战略、战术和战斗力 2：选题三准则：趋喜避厌 3：选题三准则：如何培养兴趣 4：选题三准则：择重舍轻，扬长避短

5：得题之关键           6：如何应对新潮      7：选题四建议          8：总结：选题好比找对象

与师生谈研究策略：

1：科研四要素    2：突出重围的法   3：人人信之而善忘的黄金法则  4：孤胆方是英雄，独创才有真才  5：大道至简，科学之魄

6：弃繁就简     7：以特制胜      8：综括               9：反行众道，改形换状       10：迷雾中的灯

11：技穷时的上策 12：驾驭时间之术1  13：驾驭时间之术2     14：保质增产之法          15：类比、联想、猜测、推证 

16：评估       17：总结与回顾

与师生谈学习门径：

1：广度与深度      2：增加深度的窍门1    3：增加深度的窍门2      4：增加深度的窍门3  5：增加深度的窍门4

6：增加深度的窍门5  7：增加深度的窍门6        8：如何培养直觉和想象力？ 9：基础不好，死路一条？10：阅读策略1

11：阅读策略2      12：博览之术           13：增强记忆1          14：增强记忆2      15：如何听讲 

16：最佳捷径

与师生谈科研输出：

1：论文写作五要点 2：论文的结构、条理和语言 3：标题、摘要、引言、结论  4：作学术报告四建议  5：与编审人员打交道

与师生谈科研道德：

1：何谓弄虚作假              2：何谓剽窃？             3：何谓自我剽窃？               4：版权

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