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与师生谈科学之弊10:割根裂本 精选

已有 7259 次阅读 2013-8-8 14:32 |系统分类:教学心得

学:学生,教:教师,李:李晓榕。

李:再举一例。依我之见,主要是由于微积分的巨大成功,人们普遍认为世界在时间上和空间上都是连续的。当然,人脑“填补空白”的天然趋势,也使我们容易把世界连续化。近大半个世纪以来,由于计算机应用和量子论的成功,人们心目中的世界越来越数字化、离散化了。比如,理论物理界有人认为时间也是量子化的,具有不可分割的最小单元。前一段时间,基础问题研究所(Foundational Questions Institute)有个征文竞赛,命题是“现实是离散/数字的,还是连续/模拟的?”(Is Reality Digital or Analog?)很多人踊跃参加。这个命题本身就是还原论的:为什么一定非此(连续)即彼(离散)?比如我认为,现实是非此非彼:既非连续,又非离散,或者亦此亦彼:既连续又离散。换言之,现实作为一个整体是多元辨证、会变化有生命的,不能分解还原成或是连续的,或是离散的。说得更本质、更透彻点,连续和离散是两个抽象的极端概念,只有还原病患者才会坚信,如此错综复杂、生机勃勃、千姿百态的现实大千世界必定只有一个单相本质,才会把世界的本质强行还原成这两个简单抽象中的一个。这跟要把现实强行还原成是公的还是母的差不多同样滑稽。只有还原病患者才会争论现实世界到底是连续的、还是离散的。还有不少类似的命题,比如:世界是必然的还是偶然的,是确定的还是随机的?与连续和离散一样,必然和偶然、确定和随机也是两对抽象的极端概念。为什么世界非得非此即彼,不能非此非彼或兼而有之:既有必然成分,又有偶然成分,既有确定成分,又有随机成分?这类命题有不少著述,洋洋洒洒,蔚为大观。其实,连续和离散、必然和偶然、确定和随机,等等,都是我们的简化处理,何必自己挖个陷阱往里跳,造个牛角尖往里钻?

     我有一个持续多年的困惑:我认为,演绎逻辑、分析方法以及追求精确都是有局限的。然而,数学作为它们的一个集中体现,为什么却如此“完美”而看不出多少缺陷呢?直到几年前才受到启发而豁然开朗:

数学并不完美,其实有本质局限。

举例来说,数学家徐利治在《徐利治谈数学哲学·关于数学与抽象思维的若干问题》中指出:康托尔把数学直线抽象成“线性点集”,它与实数集一一对应。然而,实际上直线不仅有点积性,还有连续性,而它的抽象结构模式只抓住了点积性。惟其如此,才冒出了“直线与平面一一对应,也与任意维欧氏空间一一对应”等违背维度直观常识和实践的悖论著名的巴拿赫-塔尔斯基(Banach-Tarski)“分球怪论”也源于此。由此不难理解我早先所说的:也许实数表示的突破,可以带来数学的大革命

     我觉得,数学对精确性的追求,加上分析还原方法的限制,导致了数学的无歧纯一性要求,这一要求会导致强分硬拆无法分离的东西。因此,现有的数学有本质缺陷,它的应用要求强行割裂一个有多相本质的事物。这说到底是还原论的局限。比如,一个包含所有具有某种性质之集合的集合,既可视为一个完成了的对象,即一个实在对象(实无穷),又具有无限扩张的过程性,也就是一种潜在对象(潜无穷),罗素悖论等悖论就源于此。亚里士多德首次明确区分实无穷和潜无穷,他在《物理学》中精辟地指出,实无穷是指“此外全无”(“毫无剩余”),而潜无穷是指“此外永有”(“永远有剩余”)。极限、无穷小等近代数学的基本概念也都有这种二重性:潜在的无终止性以及确定的完成性。现有数学无法将这两种本质冲突的性质统一于一个单一的数学抽象,而只能以偏概全,取其一而舍其他。比如,集合论取完成性而舍过程性,而极限论则取无穷的过程性而舍完成性,因而无穷大是一个过程;经典极限论取无穷小的过程性而舍其完成性,非经典分析反之。有了这种认识之后,去看康托尔对“集合”的原始定义:一个集合就是一个“多”,它能被当做一个“一”,(A set is a Many that allows itself to be thought of as a One)是不是有一种新的认识?换言之,一个集合既是“多”,又是“一”,有二相本质,未必满足无歧纯一性要求,因而在有些场合下导致悖论,也就不足为怪了。所以,作为现代数学最基本、最重要的概念之一的集合概念能否被充分澄清,颇具争议。比如,波利亚和外尔这两位世界一流数学家,对此观点迥异(前者认为很快就能被澄清,后者认为反之),因而出现了戏剧性的“波利亚-外尔之赌”(Polya-Weyl wager)。哥德尔相信,数学家们的观点在二者之间摇摆。数学的公理化方法也体现了分析还原的精神

学:我还是不明白您说的数学的这个缺陷到底是怎么回事,追求无歧义性为什么是个局限?

李:是不容易懂。打个比方,数学的这个本质局限,有点像把孔子的名言“学而时习之”译成白话时,争论这儿的“习”到底是“实习”还是“复习”。其实,它兼含各种“习”之义:复习、温习、实习、练习、研习、演习、诵习、讲习、自习、修习,等等。但是,还原论者难以容忍或接受这种“含糊其辞”。与古文原文相比,白话今译明确清晰但片面——以偏概全,无法传递古文的朦胧之美、含蓄之妙、浑然之成、简洁之佳、空灵之趣。凡对照过古文原文与白话今译之人,都会有此感想。所以读原著经典,而不是他人的转述、今译和缩写,大有裨益。再如,《易经》之“易”,一名三义:简易、变易、不易。它的一个流行英译本取名为“Book of Changes”,这可以说是还原论的译名,——译者明知有三义,还是忍不住只取一义。

     换一个角度说,数学要求无矛盾性,因而只能把握无矛盾的对象,即本质始终如一的对象。一个复杂事物之所以复杂,往往是因为它有多相本质,充满了矛盾。所以,分析还原这一套,只对相对简单明确的事物有效。我认为,正因为现实问题大多不满足数学的无歧纯一性要求,数学才变得“实则不确,确则不实”,也就是爱因斯坦所说的,当针对现实之时,数学法则是不确定的,而当数学法则是确定之时,它不针对现实。(As far as the laws of mathematics refer to reality,they are not certain, and as far as they are certain, they do not refer to reality. 引自他的“The Dao of Physics”)与此相关,有些数学天才无法适应朦胧模糊,因而缺乏常识,不谙人情世故。话说回来,数学的这种无歧纯一性要求也大有好处,比如它有助于使研习数学之人的心志更为专一精确,即“数学使人精密”(培根之语)。


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27:科学之弊总结


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3:选题三准则:如何培养兴趣                                    4:选题三准则:择重舍轻,扬长避短

5:得题之关键                                                  6:如何应对新潮

7:选题四建议                                                  8:总结:选题好比找对象


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5:大道至简,科学之魄                                          6:弃繁就简

7:以特制胜                                                    8:综括

9:反行众道,改形换状                                          10:迷雾中的灯塔

11:技穷时的上策                                               12:驾驭时间之术1

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5:增加深度的窍门4                                             6:增加深度的窍门5

7:增加深度的窍门6                                             8:如何培养直觉和想象力?

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11:阅读策略2                                                  12:博览之术

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15:如何听讲                                                   16:最佳捷径


与师生谈科研输出:

1:论文写作五要点                                              2:论文的结构、条理和语言

3:标题、摘要、引言、结论                                      4:作学术报告四建议

5:与编审人员打交道


与师生谈科研道德:

1:何谓弄虚作假                                                2:何谓剽窃?

3:何谓自我剽窃?                                              4:版权

5:谁该当作者?                                                6:署名顺序怎么定?

7:其他学术不当行为                                            8:总结



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