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与师生谈科学之弊4:螺环之奇妙 精选

已有 10101 次阅读 2013-5-27 15:59 |系统分类:教学心得

学:学生,教:教师,李:李晓榕。


李:顺便强调一下,我认为:

螺环奇妙至极,它会带来质的飞跃。

这有很多例子,混沌就是一个。对于控制系统,闭环(反馈)控制与“开环”控制大异其趣,有质的不同,比如,利用反馈可以大大减小对模型精度的要求。(附带说一句,控制界的这一术语挺有趣:凡环皆闭,不闭不成环,说“开环”(open loop)跟说“弯曲的直线”、“笔直的曲线”和“带角的圆”类似。不过,积非成是,习惯成自然,控制界早已对此麻木。)再如,无穷与有限有天壤之别。整数集是否大于偶数集?一方面,偶数集是整数集的子集;另一方面,将整数集的每一元素都乘以2,就得到偶数集。这是所谓伽利略悖论的一种简化形式。这种悖论只存在于无穷集中,有限集不会出现这种悖论。所以康托尔定义无穷集为:与自身的某些部分(即集合论的真子集)能建立一一对应关系的集合。换言之,就是能与自身的局部等同的这种整体就是无穷。又是一个环!无穷离不开循环。我们怎么接受无穷的概念?一是周期性,而周期性实质是一种循环。二是可以不停地加上去,不管多大都可以加,所以不存在最大的数。这样,无穷是个过程。在读本科时,说它是个过程,当时难以领会,我这么说就会加深理解。

学:照这么说,无穷大还非得是一个过程不可。

李:集合的势就是其元素的总数,它的幂集就是包含其所有子集的这个集合。康托尔证明了一个无穷集的势小于它的幂集的势。又是一个环!

循环乃无穷之母,无穷是循环的外在体现。

康托尔的无穷集定义很能反映这一点。循环与无穷的关系有点类似于逻辑学中内涵(即含义)与外延(即全体适用对象)的关系。一个有限球面与一个无穷平面是一一对应的,而球面就是一种“闭环”,有限而无边。圆,作为一种闭环,也有限而无尽头。表示无穷大的符号∞也是由两个圆圈组成,这绝非巧合,其合理性在于,可以在这么一条曲线上永无止境地走下去。(The appropriatenesssof the symbol ∞ forinfinity lies in the fact that one can travel endlessly around such a curve.)(拉克尔《无穷与心智》(Rudy Rucker, Infinity and the Mind))数学归纳法是从有限通往可列无穷的一座可靠桥梁,它巧妙地用了一个循环,其强大的力量源于该循环。在时间序列分析中,一个简单的一阶自回归(autoregressive)模型,就等价于一个无穷阶的移动平均(moving average)模型。自回归是一种圈环反馈,而移动平均不涉及环。


             

          盯着看圈,它就转。盯着直线看,有此效果么?       二维之圈成就三维之锥,所见属锥内或锥外?

   

  与混沌理论密切相关的是分形几何,它是二十世纪数学最重要的进展之一。分形的一大本质是不断嵌套的自相似性。高层单元由相似的低层单元构成,这种嵌套、重复的模式具有螺环的精髓。比如,有人提出的生物全息律,就具有分形几何上的自相似性,它预言了生物克隆的可能性。分形几何正是抓住了自相似性这一圈环本质,才能有效地刻画大量复杂的自然事物,完成了数学的一大飞跃。此前,数学往往只能对付相对简单的或经简化的自然事物。

真正的演绎逻辑悖论往往离不开或显或隐的自指(自我指称),可以说,

自指是悖论之源。

什么是自指?还是一种环。“本句话为假”,就是一个依赖于自指的悖论。如果它真,它的内容就保证它假,如果它假,就证实了它的内容,所以它真。把演绎逻辑用于自指、闭环或无穷时,有可能出现罗素的所谓“恶性循环”。自洽指无自相矛盾。哥德尔不完备性定理说,自洽与完备“势不两立”:在任何一个包含算术系统的体系里,必定存在这样的命题,它不是既可证明又可证伪,就是无法在有限步内按任何机械规则证明或证伪。也就是说,要么矛盾,要么不完备。哥德尔证明了这样一个体系必可嵌入如下命题A:“本命题是不可证明的”。又是一个环!如果A可证,那么与其内容矛盾,所以不自洽;反之,如果A不可证,那么A为真却不可证,所以不完备。不完备性定理由此得证。两害相权取其轻,相对而言,人们更不能容忍矛盾,所以该定理称为不完备性定理或不完全性定理。可以说该定理的精神实质是:在一个足够复杂的体系中必存在这样一个自我循环,即复杂离不开自我循环。正如造不出永动机一样,不存在可证明为自洽而完备的非平凡体系。哥德尔第二不完备性定理说,自洽者无“自知之明”:一个自洽系统的自洽性不能在系统内证明。事实上,一个系统是自洽的当且仅当它的自洽性不能在该系统内证明。在系统内证明自洽性是怎么回事?就是系统证明自身的全局性质,又成环了,所以又飞跃了、跳出系统本身这个层次了。侯世达(Dougalas Hofstadter)的《哥德尔,艾舍尔,巴赫——集异璧之大成》(Godel, Escher,Bach: An Eternal Golden Braid)一书洋洋洒洒、生动有趣地讨论了自指这个“怪圈”,值得一读。

   生命问题也一样。毫无疑问,生命的演化远比物质的运动复杂。究其根源,我认为主要原因是生命中含有大量各种自我作用——循环,比如复制和新陈代谢都是循环的形式。每一生命都含有各种复杂反馈循环没有循环,就不会有生命。一旦循环中断了,生命也就停止了。正是循环,赋予了生命,所以生命的起源,不在于任何具体元素或载体,而在于有机体的循环,在于循环中的大量往复。甚至可以说,

正是循环之妙,开出生命之花。

生命就是这种循环的体现。至今没有一个普遍接受的生命定义。在多种流行的定义中,相对最受欢迎的遗传进化定义就十分强调生命的复制功能,基于生理学、新陈代谢、生物化学等方面的其他定义,我认为对循环的关键作用都不够重视。每一个生命都是一个高度复杂的系统。一般地说,一个不含任何圈环的系统,不会是高度复杂的。热力学第二定律说,一个封闭系统的熵(无序度量)与时俱增。生命也被定义为一个局部有序程度与时俱增的系统。可见生命必须是开放系统。有些科学家认为,一个开放系统有序程度的增加,是通过能量的流过而建立循环来实现的,可见循环对于生命之重要。

   人的思想为什么复杂?我认为本质的根源是人有自我意识。

自我意识是万恶之源、众善之本、百乐之根。

自我意识开启广阔的新天地,它是善恶、道德、爱憎、恐惧、理智、意愿等等的基础。没有自我意识,何来精神世界?什么是自我意识?还是个环!有了它,就复杂多了,就引发一系列质变。自我意识是人类的“灵魂”,具有清醒的自我意识是人类升越(rise above)动物界而成为“万物之灵”的根源。研究表明,一个人的自我意识是在幼儿期间逐渐形成的,儿童直到七八岁后才较有规律地在梦境中出现自我。正如动物无法理解自我意识,没有清醒的自我意识就不能理解“自我”这种意识。没在圈环中呆过,就难以体悟圈环之妙。

   另外,根据斯滕伯格(Robert Sternberg)的智慧之平衡理论(the balancetheory of wisdom),智慧就是平衡各种利益,一般也离不开循环。辩证法中的否定之否定,也是一种螺环,这是更高层次的东西,是一种质的飞跃。佛大彻大悟的大智慧,应该包含更高层次的螺环,比如对宇宙人生的圈式认识。道家的大智慧强调无我,说到底就是顺应自然,排除自我意识,切断万恶之源。总之,圈环、循环、螺旋非常奇妙玄奥,貌似简单,实则产生质的飞跃。所以我们梦寐以求“良性循环”,而“恶性循环”的后果不堪设想。类似上面这样的例子,不胜枚举。凡此种种,都说明:

无环,就复杂不了。

   话说回来,西方思维明显功能强大,它要人寻因探源。当前是科学征服世界,科学思维是线式的、不成环的,它追求的是因果关系,美名曰“真理”。这些真理的发现或确立,反过来大大强化了线式因果思维和科学的独断论。东方思维往往“因果不明”,不擅长于对付相对简单的事物,在低层次上远不如科学的线式因果思维,但有可能在更复杂更高或更深层次上更有前途。这可是一种螺环的思维啊!线式思维便于大步“前进”,因而“发展”和“进步”成了现代化的主旋律。圈式、螺环思维看似“原地转圈”不前,实际上可能进入另一世界,就像通过宇宙学中的虫孔(wormholes)捷径超光速穿越时空一样。总结一下,极而言之,

当代西方文化是线式文化,传统中国文化是圈式文化。

梁漱溟等大师认为,西方文化是当前的文化,而东方文化代表着未来。照我上面所说的,这些观点就不奇怪了,至少提供了一个视角。不过我认为,东西方文化将兼在共荣,并驾齐驱,而不是东方文化取代西方文化。

学:您是怎么想到说中国的思维方式是圆圈式的?

李:这得益于《易经·系辞》所说的“蓍之德,圆而神”的启发,虽然它的字面原意是指占卜用蓍草功德圆满而通神。有一天,我突然由这段话联想到东西方思维之别。注意,黑格尔的循环发展主要是指概念的发展、事物的运动,而不是思维模式。何况,他的发展是指或者螺旋上升,或者从圆心开始,像年轮一样,一层套一层,有别于我所说的圈环、循环。

学:为什么圈环能产生飞跃,带来质变呢?

李:这个问题很深刻,值得研究。我觉得,有些也许可以从辩证法的基本法则之一——“量变造成质变”来解释。我们说的圈环其实都包含大量的循环往复运动,每一次循环都带来量变,为数众多的循环就带来大量量变的积累,所以产生飞跃和质变。混沌就是这么一个典型的例子。另一些或许可以从数学归纳法这一类的递归推理来理解,其中浓缩了无穷多个简单推理。循环之妙还在于:正反馈式的循环是无穷之母,而负反馈式的循环是动态平衡和稳定的主要源泉。

教:您说的这些,真是闻所未闻、匪夷所思,让我们大开眼界。这都是您自己想到的吗?

李:是我独立思考所得,也许有些是首创,但不会都是首创。


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5:得题之关键                                                  6:如何应对新潮

7:选题四建议                                                  8:总结:选题好比找对象


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3:人人信之而善忘的黄金法则                                    4:孤胆方是英雄,独创才有真才

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