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人之病札记37

已有 2477 次阅读 2021-7-21 22:57 |个人分类:教学行思|系统分类:教学心得

在大理开会时,有位不认识的同事在校内用的即时通讯系统中联系我。他在指导全国大学生物理学术竞赛,有力学题,想与我讨论一下。我告诉他,在外面开会,回学校再说。

 

回校上课时,班上有两位女同学问我题目。那两位同学似乎也不常见,不知道是我班上的学生平时没有听课,还是不是班上学生为提问旁听次课。题目很有意思。一个圆环,在抛物线型的凹曲面内滚动。运动的视频显示,圆环东倒西歪摇摇晃晃,时而会倒下然后又立起,踉踉跄跄地滚动。问题要求建模和仿真解释说明这个过程。

 

我跟她们说,先要理解清楚物理过程。没有倒下的圆环,有一个点与曲面接触。接触点有摩擦,可能是纯滚动,也可能是既滚动又滑动。前者摩檫力不做功,但有个接触点速度为零的约束;后者摩檫力就是滑动摩擦力,做功。可以建立动力学方程,然后给定初始条件,数值求解。倒下意味着有新的接触点,发生碰撞,有反向的速度(取决于与面接触时的速度和碰撞恢复因数),所以倒下又能立起。研究的过程是首先建立动力学方程,然后识别和测量相关参数。环的质量和几何尺寸可以直接测量,密度和转动惯量可以计算。还需要测量小环与曲面之间的静滑动摩擦因数、动滑动摩擦因素和碰撞恢复系数。另外,仿真再现运动可能只能在定性意义上。动力学行为可能对初始条件有敏感依赖,就是有混沌,难以定量地再现。

 

学生说,她们用能量法推导动力学方程。我提示她们,纯滚动时,存在非完整约束,要加以考虑。非纯滚动时,滑动摩擦力作功,计算广义力时要考虑。这个问题很有挑战性,可能比她们预料的要困难。

 

后来物理系的指导教师专门约我,到办公室讨论那个滚动圆环,北大朱照宣先生等的《理论力学》下册有个均匀圆环在水平面上无滑动滚动的例子,可以参考。

 

后来那位老师又约我讨论。我开组会没有看校内的即时通信系统。很巧,组会结束后在电梯里遇到,一起到办公室。继续讨论曲面内滚圆环的题目,还是有些问题。一个是空间一般运动的描述,原则上是质心坐标加欧拉角。具体细节我建议他们学习朱先生等《理论力学》的上册。我好久没有讲相应课程,直接给他们解释未必有帮助。我给学生的建议是先考虑没有滑动的情形,看看是否能定性地解释视频。

 

对滚环问题的认识,后来在学术会议上遇到俊峰教授,也请教印证一下。问题数学建模的要点如下。圆环的运动可以用三个质心坐标和三个姿态坐标例如欧拉角描述。圆环始终与曲面接触,到接触点距离为圆环半径,相当于一个完整约束,因此系统的独立广义坐标为有5个。接触点处有3个未知约束力。动量定理和动量矩定理有六个方程。在纯滚动时,接触点速度为零条件有三个投影方程,在法向自然满足,有两个独立方程。此时关于8个未知量的8个方程。当速度方向上的实际静摩檫力大于最大静摩檫力时,将发生滑动。发生滑动时,摩檫力的方向与速度方向相反,大小为动滑动摩擦因数与法向力的乘积。此时有6个方程,5个独立的广义坐标和未知法向力。同时仍要求解无滑动问题,检验实际摩檫力,小于最大静摩擦力时,再切换回纯滚动。一直要判断圆环是否与曲面有第二个接触点。出现第二个接触点,法向速度改为恢复因数与接触时法向速度的值,继续计算。同时也要注意两种状态的的切换,可以先假设没有滑动,然后检验在接触点切向上,实际的摩檫力是否大于最大静摩檫力。如果大于,就要切换到有滑动的状态。

 

这个问题,是否可以用ADAMS等商业软件计算,我不太清楚。

 

 

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