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人之病札记37

已有 4638 次阅读 2021-7-21 22:57 |个人分类:教学行思|系统分类:教学心得

在大理开会时，有位不认识的同事在校内用的即时通讯系统中联系我。他在指导全国大学生物理学术竞赛，有力学题，想与我讨论一下。我告诉他，在外面开会，回学校再说。

回校上课时，班上有两位女同学问我题目。那两位同学似乎也不常见，不知道是我班上的学生平时没有听课，还是不是班上学生为提问旁听次课。题目很有意思。一个圆环，在抛物线型的凹曲面内滚动。运动的视频显示，圆环东倒西歪摇摇晃晃，时而会倒下然后又立起，踉踉跄跄地滚动。问题要求建模和仿真解释说明这个过程。

我跟她们说，先要理解清楚物理过程。没有倒下的圆环，有一个点与曲面接触。接触点有摩擦，可能是纯滚动，也可能是既滚动又滑动。前者摩檫力不做功，但有个接触点速度为零的约束；后者摩檫力就是滑动摩擦力，做功。可以建立动力学方程，然后给定初始条件，数值求解。倒下意味着有新的接触点，发生碰撞，有反向的速度(取决于与面接触时的速度和碰撞恢复因数)，所以倒下又能立起。研究的过程是首先建立动力学方程，然后识别和测量相关参数。环的质量和几何尺寸可以直接测量，密度和转动惯量可以计算。还需要测量小环与曲面之间的静滑动摩擦因数、动滑动摩擦因素和碰撞恢复系数。另外，仿真再现运动可能只能在定性意义上。动力学行为可能对初始条件有敏感依赖，就是有混沌，难以定量地再现。

学生说，她们用能量法推导动力学方程。我提示她们，纯滚动时，存在非完整约束，要加以考虑。非纯滚动时，滑动摩擦力作功，计算广义力时要考虑。这个问题很有挑战性，可能比她们预料的要困难。

后来物理系的指导教师专门约我，到办公室讨论那个滚动圆环，北大朱照宣先生等的《理论力学》下册有个均匀圆环在水平面上无滑动滚动的例子，可以参考。

后来那位老师又约我讨论。我开组会没有看校内的即时通信系统。很巧，组会结束后在电梯里遇到，一起到办公室。继续讨论曲面内滚圆环的题目，还是有些问题。一个是空间一般运动的描述，原则上是质心坐标加欧拉角。具体细节我建议他们学习朱先生等《理论力学》的上册。我好久没有讲相应课程，直接给他们解释未必有帮助。我给学生的建议是先考虑没有滑动的情形，看看是否能定性地解释视频。

对滚环问题的认识，后来在学术会议上遇到俊峰教授，也请教印证一下。问题数学建模的要点如下。圆环的运动可以用三个质心坐标和三个姿态坐标例如欧拉角描述。圆环始终与曲面接触，到接触点距离为圆环半径，相当于一个完整约束，因此系统的独立广义坐标为有5个。接触点处有3个未知约束力。动量定理和动量矩定理有六个方程。在纯滚动时，接触点速度为零条件有三个投影方程，在法向自然满足，有两个独立方程。此时关于8个未知量的8个方程。当速度方向上的实际静摩檫力大于最大静摩檫力时，将发生滑动。发生滑动时，摩檫力的方向与速度方向相反，大小为动滑动摩擦因数与法向力的乘积。此时有6个方程，5个独立的广义坐标和未知法向力。同时仍要求解无滑动问题，检验实际摩檫力，小于最大静摩擦力时，再切换回纯滚动。一直要判断圆环是否与曲面有第二个接触点。出现第二个接触点，法向速度改为恢复因数与接触时法向速度的值，继续计算。同时也要注意两种状态的的切换，可以先假设没有滑动，然后检验在接触点切向上，实际的摩檫力是否大于最大静摩檫力。如果大于，就要切换到有滑动的状态。

这个问题，是否可以用ADAMS等商业软件计算，我不太清楚。