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人之病札记13

已有 3805 次阅读 2020-2-6 22:54 |个人分类:教学行思|系统分类:教学心得| 远程教学, 稳定性, 总结

远程的稳定性理论基础继续开讲。以三次课结束。暗合“三生万物”。

第二次是李雅普诺夫直接方法的三个定理。这部分基本上是中规中矩。三个定理条件的归纳比较，可能对初学者有些帮助。先分析一个线性例子，或许有助于稳定性定理和不稳定性定理证明思想的理解。渐近稳定性定理证明对数学成熟性要求相对更高些，我干脆没有讲。李雅普诺夫函数构造方面，多少有一点点个人体会，不过我这方面的体会也很有限。这一讲应该是整个课程中最不出彩的部分。以后可以把定理证明的思路更突出些，与技术性细节更明确地切割。

第三讲在开始之前，简要补充上次内容的两点引申。其一是说明李雅普诺夫稳定性经典理论主要是俄苏学者的工作，欧美学者的研究路线是发展了伯克霍夫动力学系统理论特别是不变集理论。到上世纪六十年代综合形成不变性原理，是分析渐近稳定性强有力的工具。其二是证明渐近稳定性所构造的李雅普诺夫函数，其实是用于判断吸引性，因此可以作为估计吸引子的吸引盆的工具。

第三次是李雅普诺夫线性化稳定性，也包括线性系统稳定性和线性力学系统稳定性。线性化稳定性定理只给出了证明的思路，没有全部细节。都是很成熟的内容，我觉得讲得也没有太多新意。或许教学处理上有三点特色。其一是说明了稳定性条件与不稳定条件并不等价，不稳定条件更容易导出，因为不受零实部本征值存在性的影响。其二强调了本征值判断线性系统和线性化理论都针对定常系统，给出两个反例说明非定常系统失效的情形。其三，力学系统稳定性处理得比较通俗。一般性的证明只给出完全阻尼时渐近稳定性，有无阻尼时陀螺项的影响都是讨论两自由度特例的例子，或许更突出力学本质。当然，这些特点特别是前两点初学者可能没有什么感觉。

这两讲让我意识到，对学习者不是特别平凡的数学证明，给出证明思路可能对认真的学生帮助比较大。就是把整个定理的证明归纳为三五个要点，提纲挈领。

第一讲听的人比较多，青云教授发朋友圈说有78人。他全程听了，我还是挺有压力，人家是科班学数学的。后两讲我自己也会看有多少人，比第一次少些，是五十八、九人。结束时，我问问学生还想听什么内容，我们可以再找专家讲。