Zmn-0825 侯小山：开区间(0, 1) 共有多少个小数，及文清慧评语

【编者按。这是侯小山先生发来文章及文清慧评语。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

文清慧评语。

因为这个问题太简单了。我对此文给出如下评语。

一，此文的结论【所以开区间 (0,1) 共有 (10ⁿ − 1) 个小数，n ≥ 1。】是完全错的。

理由很简单。因为对于任何自然数n，(0,1)中共有10ⁿ-1个n位十进制小数，这是正确的。但是我们知道小数包括有穷小数和无穷小数。区间(0,1)中不仅只含有对任何n的n位有穷小数，还含有无穷位的无穷小数。应该证明下述两个定理。

定理1 。(0,1)中包含可数无穷个有穷小数。

定理2。(0,1)中包含的无穷小数的集合，它的基数是不可数的。

因而，侯小山问题【开区间(0, 1) 共有多少个小数】的正确答案，应是【(0,1)中包含的无穷小数的集合的基数是不可数的】。

二，定理1的证明。

对于任意给定的n，所有n位有穷小数的个数是10ⁿ-1，是有穷的。但我们可以严格证明，对于由所有的n构成的有穷小数的集合A={ 0.a1a2a3...an丨n＞0，ai∈{0,1,...,9}，an≠0 }，是可数无穷的。

我们令Ai表示真n位小数，所谓真n位小数，是指它的第n位an不等于0，从而它不包括更少位数的小数。

A1={ 0.a1丨a1∈{1,...,9} }

A2={ 0.a1a2丨a1,a2∈{0,1,...,9}，a2≠0 }。

......

An={ 0.a1a2a3...an丨ai∈{0,1,...,9}，an≠0 }。

......。

显然对任何n，An的个数等于10^n-1·9 ，是有穷数。而且A=A1UA2UA3U...UAnU...。这是可数无穷个有穷集的并集，因而可证A的基数是可数无穷。

三，定理2的证明。

可证(0,1)中的无穷小数构成的集合B={0.a1a2a3,... |ai∈{0,1,...,9}，ai不全为0也不全为9 }，是不可数的。

这可用基数理论来证，基数的乘幂运算是这样定义的，集合X到集合Y的所有函数的集合是集合Z，若X的基数是α，Y的基数是β，Z的基数γ，则γ=β^α。由B的定义可知，B就是由自然数N到集合 N₁₀={0,1,2,...,9) 的函数构成的集合。由于N的基数是אo，N₁₀的基数是10。所以B的基数等于10^אo。再根据幂集基数定理，当β>1时，β^α>α，即10^אo＞אo。从而知B的基数不可数。证毕

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