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Zmn-0493沈卫国:有关曲线与直线进而割线与切线的增量及增量比值的讨论

已有 1013 次阅读 2021-3-22 16:13 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0493沈卫国:有关曲线与直线进而割线与切线的增量及增量比值的讨论

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

有关曲线与直线进而割线与切线的增量

及增量比值的讨论

沈卫国

 

可以这样理解这个前面亦有涉及的问题。空间的两个点,并不能决定一条曲线,但却可以决定一条直线。因此曲线上的两个点,其纵横坐标的增量比值函数,唯一地取决于这两个点的位置。这是显然的。但任何一条直线,其纵横坐标的增量比值函数就是其斜率,依赖于该直线的角度。当角度不变时,其斜率或增量比值函数是固定的,而且并不依赖于直线上的任何指点的唯一的两个点,而是任何两个点都可以决定数值相同的直线的增量比值函数或者斜率。只要这是真正的两个点,也就是距离不为0的两个点。于是,当曲线与其割线的两个交点合二为一时,割线变为切线,此时曲线的纵横坐标增量都为0,也就是根本就没有增量了,于是自然也就不可能有增量比值函数的数值,两个0,怎么个比法?非要说有,也是0/0。但是,直线不同(具体在这里就是割线和切线)。只要其角度确定了,其纵横坐标的增量尽可以不同,可以有无穷多,但其比值也就是该直线的斜率是固定的。换言之,其斜率或增量比值,不会仅仅依赖被指定的两个点,比如与曲线的两个交点。特别是二点合一,割线变切线时,曲线此时的增量比值不存在,或为0/0。但此时切线上作为交点的增量比值也不存在,为0/0,但它的其它任何两点的增量比值当然存在,因为前面已经说了,它的存在对于任何直线而言,都不取决于固定在该直线上的两个点,而是该直线上的无穷多对点。具体到切线,其斜率不能由其与曲线的一个交点决定,但却可以决定于该切线上的任何两个距离不为0的点。于是,在传统导数定义下,导数单纯决定于曲线上的两个点,因此在二点合一时,也就是其割线变切线时,无法真正仅由此单一点决定切线斜率,因为此时纵横坐标的增量都为0,何来比值?但此时切线当然是有斜率的,因为它不取决于任何固定的两个点,更不取决于单一的点。而切线上的点不是无穷的多吗?笔者给出的新的导数定义(瞬时速度定义),就是求的这样的、脱离了单一切点(曲线与切线的唯一交点)、取决于切线上任何两个点间的不为0的增量的比值,也就是该切线的斜率。在如此的导数定义下,既可以满足切线与曲线只有一个点的要求,使得导数值为精确值,又兼顾了增量比值函数也就是斜率的必须具备两个间距不为0的点的要求,使得这个比值的分母不再为0。真是一举两得,且再无矛盾。

举个现实中的例子。比如,在最简单的二次函数下,传统求导必须依赖的二次曲线本身的增量比值函数是:△y/△x=(2x+△x)△x/△x,这样分母上是有一个自变量△x的。既然有,就有一个其为0或趋于0时分母为0还是不为0的问题,这就是贝克莱悖论产生的根源。现在我们在笔者给出的新的导数、瞬时速度定义下,就可以仅仅在曲线的割线的增量函数下求导,也就是求切线的增量方程的系数k,而系数k就是切线的斜率,也就是新定义下的导数。如,割线的增量方程为:

△y=(2x+△x)△x=k△x,没有了分母,自然也没有了分母上的自变量△x,也就根本消除了分母为0还是不为0的问题。注意,该式中k=2x+△x是线性方程的系数,也就是斜率。它显然只取决于这条直线的角度。△x还是曲线与直线的两个交点的横坐标差,也就是增量。当△x≠0时,自然k是割线斜率。而当△x=0时,两个交点合二为一,割线变切线,此时k=2x,就是切线的斜率。至于k外的那个△x,也就是k△x中的这个△x,根本不必去管它,它可以等于任何数,包括0。因为我们所求,不过是也仅仅是直线的斜率k,k△x中的这个△x,它即使为0,得到,k△x=k·0=0,该切线也有系数k,也就是有斜率,只要直线还存在,其斜率就存在。哪怕其为0,也就是甚至斜率本身为0,也是斜率。总之,我们求这个斜率k的值,不是根据k△x中的这个k外的△x求的,它即使为0,斜率也有,也可以不为0。我们是根据斜率本身的k=2x+△x来求的。这点必须明确与强调。

当然,由于已经是直线增量方程了,那么k△x中的这个k外的△x,就完全可以和k=2x+△x中的这个△x相剥离,完全可以写成与△x无关的△x1等等。△x1≠0或者△x1=0,都与k=2x+△x也就是k中的那个与交点相关的△x无关。它反映了此割线或切线上的任何两点的坐标差(任何大小的增量),可以完全脱离该直线与曲线的交点。而k=2x+△x中的这个△x,却是交点的,被交点所约束,不是自由的。因为它在直线的系数k中,仅仅决定该直线的角度。

此外,斜率虽然是个比值,似乎有分母。但它通常不用分数形式表示,实际可以理解成分母恒为1。这一点实际就说明斜率的分母不能为0。传统微积分导数定义,对此问题是无法从根本上解释清的。

 

5、重申新导数定义涉及的一些概念

我们可以直接定义并且必须牢记,带下标1的增量△ⅹ1,是直线上任意二点间的,独立的,不受其与曲线交点的约束,且不能为0,因直线斜率由它决定。如△ⅹ1=0,斜率分母为0,当然不行。而无下标的△ⅹ,是交点的,即曲、割线共有的。这两个增量当然不是同一个变量。在△ⅹ≠0时,可以有(但不必须有!)△ⅹ=△ⅹ1,但在二交点合一时△x=0,但△x1≠0。所以,切线斜率是△y1/△x1,而不是此时的△y/△x=0/0。

△X1,始终涉及直线(割,切线)上二点。而交点合二为一时,只涉及一个交点,在曲线、切线上都只一个点。一个点,无法定义斜率。因此时△ⅹ=0,用其作分母当然不行。

斜率是直线的增量比,本质上,定义上有分母。形式上当然可以无分母,线性方程的系数(斜率),一般就没有或不写分母。但所谓无分母,可看成分母为1。

总之,斜率取决于任何非0的、定义在割线或切线上的△ⅹ1,它当然依赖也仅仅依赖作为直线的割线、特别是切线上的任意两个点。自然,△x1可为任何值非0值,不必确定,但对任何直线,虽然△ⅹ1与△y1不固定,但其比值△y1/△ⅹ1是固定的。所以绝非唯一的一个具体△ⅹ1才能确定△y1/△x1。这个比值,即K△x的系K。而k=△y1/△x1,进而K△x=(△y1/△x1)△x,特别应该注意,当△x=0进而K△x=0时,一般地k=△y1/△x1≠0,即斜率k一般并不等于0(无此要求)。因为此时△x1≠△x=0。一些人之所以迟迟理解不了笔者思路,是认为k=△y/△x,于是K△x=(△y/△x)△x,这在△x≠0时当然无问题,但在△x=0时,立刻就有k·0=△y·0/0,此时当然△y也会等于0,于是我们有0=k·0,由0/0,他们认为求不出k,这显然是弄错了作为直线的斜率的本质定义是什么了。即使在0=k·0下,k也是有的,因为直线存在。但其在0点的求法,不依赖与此时的一个交点了。而是有k=△y1/△x1,由△x1去求了。曲线割、切线的斜率k,实际严格而言是交点横坐标差(增量)△x与直线上任何两个点的非0横坐标差(非0增量)△x1的函数,应该写成k(△x,△x1)。在割线情况下,二者都不为0,因此可以(当然不必)相等,即可以(不必须)有△x=△x1≠0。但在切线情况,其中的△x=0而△x1≠0。也就是有k(△x=0,△x1≠0)=△y1/△ⅹ1≠△y/△x。在作为直线斜率的系数k(△x,△x1)中,△x作为其与曲线的交点,决定了斜率的大小也就是该直线的方向。而其中的△x1,与斜率大小无关,它只处于分母上,且不为0,只负责保证斜率可以被求出或可以成立。

如果我们联立曲线与直线方程,即依赖二方程交点,当然与△x有关。在△x≠0时,作为交点,其对曲线函数的增量,与其对割线函数的增量当然是共同的。否则就不叫交点了。因为二者的交点为二者所共有。但在△x=0时,二者的交点就一个了,曲线的增量为0,切线的交点所涉的增量也为0,但这条切线的斜率此时是固定的,所以决定这个斜率的纵、横坐标增量都不为0。即所求导数并非决定于此时为0的△y/△x,而是不为0的△y1/△x1=K。按笔者提出的新导数定义,导数为涉切线上二点的增量比,不是涉曲线上二点(如与割线的二交点)的增量比,更不是只涉曲线或切线上一点如切点的增量比。因此时无增量,自然也无其比,有也是0/0。

综上,在曲线与直线的两个交点重合时,割线变切线,作为曲线与切线的交点只剩下一个了,没有增量,其增量为0,增量比当然是没有了,有,也是0/0。但作为直线(此时为切线)上的任何两个点的增量进而增量比(斜率、导数),当然仍有。只要是直线,就必有其斜率,这是直线的性质决定的,是一条具体直线的伴随特征。因为直线(当然包括切线)上有无数个点,任何两个点之间都有增量(纵、横坐标各自的),自然也就有二者之比。而且作为分母的横坐标差(增量)按斜率定义不为0,也就是不会在这里有“二点合一”的问题。这个比值,即使数值为0,也就是说明它为一条水平线而已。斜率为0,是指其数值为0,并不是没有斜率。以往传统微积分的问题(无论牛顿无穷小法还是极限法微积分),就是一味地纠结于求导时曲线上的两个点是否合二为一的问题。合了,会出现0/0;不合,会有误差。这无疑就是贝克莱悖论的实质及产生的原因。现在,在笔者重新定义的导数和瞬时速度下,这些问题都不复存在了、彻底解决了。

以往,认为导数、斜率只能是唯一地涉及曲线上二点的增量比的,是近似值一派。他们认为导数就是个近似值,不可能精确,也不必精确。曲线与其割线再小,也有差别,不可能同一(这一点是正确的),只能无限近似。而认为是只涉一个点即切点的一派,比如马克思、欧拉等,其中的一派为点中有点派,但实际还是近似一派。另一派为辩证派,这派最接近真相,但惜未说清楚怎么个辩证法子。但按我这个新定义与理解,就无任何矛盾了。

在本文的导数、瞬时速度的新定义下,也仅在这个定义下,微积分求导完全就是一个初等数学范围的工作,它不需要无穷小、极限之类的令人费解的概念(具体见笔者系列论文,特别是近期的论文)。按罗素的说法,极限说法,就是“明显的诡辩”(罗素这样的大学问家看起来才是明显的,一般人还未必好分辨呢),按马克思的说法,就是“数学家那些永远接近,永远到不了的昏话”。在笔者新定义下,高等数学与初等数学的鸿沟被填平了,二者互相融合了。说的更直白些,就是高等数学彻底地初等化了(注意,可不是初等数学高等化)。这一切的实现,始于瞬时速度、导数的新定义。




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