我们创研的数学教学方法和资源：从幼小数觉训练到初中代数训练（2024版）

王永晖

这些都是我指导的数学教育方向的硕士生论文，集成了我们这几年的工作和对未来的构思，按教学顺序罗列如下。

赵敏 幼小阶段数觉游戏-探究性训练   （零起步到小学三年级）

王芳 以索玛拼插方块等实物教具为起点的数觉游戏设计与实践  （零起步到小学三年级）

这两篇论文覆盖的是相同的年龄学力阶段，第二篇是第一篇的补充，是真正的零起步教学，也就是从孩子很小的时候就可以开始。（点击链接即可下载论文PDF）

       我意以为，一岁半肯定是可以开始的。因为一岁半是语言的迅猛发育期，我们的观点是，数学可以同步于语言，一起开始，因为大脑中的数学功能区，跟语言功能区，实际上是存在竞争关系的，哪个先独立发展，孩子将来就在那方面偏科，所以最好的方式是同步发展，均衡发展。

       发展起来之后，这二者之间就会由竞争关系，变成合作互助关系，我以前博文中介绍过的一个数学小天才，就是得益于此，他的数学在小学二年级之前，并不比北京那些培训班孩子快多少，但是，也是从小在学，语文和数学是一起进步，然后在小学二年级之后，爆发式发展，令我叹为观止。

       所以，超前教学，超前学习是必须的，也是现实，关键是怎么学。现在很多家长，主要是手头上没有资料，如果不学奥数的话，孩子想学数学又该是学什么，我们这份资料，就给了家长一个很好的参考。

       赵敏论文，还包含有婴儿期的一些训练方法，婴儿两三个月即可开始，利用了婴儿的追视反射和握固反射，即将追视训练和拉坐训练，跟数学体验相结合起来了。

       但这方面，请家长们谨慎使用，尤其是那些有潜在自闭症可能性的孩子，过多地接触数学会不会加剧他们的自闭症倾向，也值得非常小心，我们的资料中，也有自闭症方面的科普级阅读理解，也相当于提醒家长们在这方面对自己的孩子多注意，提早注意提早预防，自闭症的治疗效果，其特点就是，越早越好。

       当然，这份资料有一个很大的缺陷是，我们缺少真实的教学实践，主要是我空想出来的。大约是在7年之前，小教室的孩子们已经进入初中数学阶段，但是，我的个性是喜欢琢磨这些基础性的东西，就在想，如果小教室重来一遍的话，从小教这些孩子的话，我会怎么教学，成天想成天想，得出这么一个比较系统的东西。

     小教室的孩子们，只练过论文里的握手数数和拼塔游戏，那是在他们小学四年级学力时，整整一年多，每个周末有一个多小时。所以说，如果没有小教室的激励和经验，我们也想不出来这些东西，但是，毕竟论文里的大部分方法，小教室孩子们当初并没练过，尚处于空想阶段，有待于新一批的家长和孩子来实践，验证和改进。

     我们有一个幼小数觉微信群，里面过手的家长，据志愿者群主说，已经有上千个了，不过可能真正坚持练习的家长，感觉应该是在个位数内。

     【数觉游戏进度目录表】https://shimo.im/sheets/QvTKTJj8XVkvrpJ6/

这里面有微信群群主和骨干们的微信号，可以联系和加入。我们会在后面计划线下和线上结合的讲座，通知会在本博客和幼小数觉微信群里发出，欢迎关注。

       目录表集成了论文里面的所有数觉游戏，按照学力阶段进行排列，并标注了相应的训练功能，目录表第2页，则是这所有数觉游戏中所选出的五大主游戏。

       我是最反对办公室里空想出来的数学教育的，中国有好多个师范大学，师范大学里面有教育学院，有数学学院，其中研究数学教育的教授们，有多少是从实践出发，而不是在办公室里面空想出来的呢？

       我最讨厌的事，我自己给犯上了，虽然说如果没有之前的教育实践，我也空想不出来这些东西，但毕竟目前仍然属于构思阶段，我相信这些构思是有价值的，但倒底哪些需要落实，哪些需要去粗取精，需要一个实践过程，所以请家长们客观地看待我们这份材料，这份材料强调的是家长从孩子很小之时，就进行亲子教学，就像抱小猪娃一样，猪娃在长，家长们的亲子教学水平也同时在长，不要等猪娃长大抱不动了，才开始意识到要去教育孩子。

下面的论文，则都是有小教室的教学实践为基础，将教学实况，整理而得。

顾洪玉 注重概念引入的小学低年级数学新教法

这个主要侧重于让孩子们自己进行探索的教学方法，把我们带着孩子们做的几个问题进行了文字整理，回过头来看，感觉那些年的付出，还是很有价值。

小学高年级阶段的代数学训练  任晶莹版 张亚杰版

任晶莹的版本，是对张亚杰版本的改进，因为小教室的孩子们，后来又想出更巧妙的证法，当然是在我的确认之下来展开，否则孩子们很容易忘了自己的闪光爆发点，而我的作用是，提醒他们认识到自己的厉害之处。

       张亚杰版本的后面章节，其中包含的内容，是任晶莹版本没有的，值得家长们参考，即，人生中的第一堂逻辑课。

       这个资料的作用是，孩子们在学习初中平面几何课程之前，实际上是需要必要的代数学的证明训练，然后再过度到平面几何的证明，会更为自然。

       另一个理由是，数学应该是一门注重联系的学科，但中小学数学却往往削足适履，让孩子们意识不到这种联系。这份资料解决的就是，小学生们已经学习了五大运算律，但是，五大运算律如何应用，如何以它们为公理，通过推理来证明其他的那些代数恒等式，即成年人习以为常的那些基本代数运算规则，那些规则并不是规则，而是可以证明的定理。

       中国大多数具有大学本科生学历的成年人，是不会这些证明的。我意以为，如果我们的目标是培养博士级人才的话，那么这些学生在小学高年级或者初中低年级阶段，经历这些训练，是非常必要的，我这里指的博士，不光是数学博士，也包括所有理工科博士，中国的理工科，如果继续目前这样的数学教育水平的话，展望未来，恐怕仍然是难出大师级人物。

        当然，也有国内的资深数学家，不赞成我的这种做法，认为我们的这种做法，很可能会扼杀孩子的想象力。我对他的指点评议，思考很久，因为他是我非常尊重的一位高手。我后来想通了，觉得事物一阴一阳，中国人的特点是，不把阴阳割裂开。严谨的数学推理方式，并不见得跟创造力相矛盾。

        注意，我这里用的是创造力，而不是想象力。因为，我觉得想象力只是一个很外在的名词，真正沉浸在创造过程之中的人，并不见得会觉得自己有多大的想象力，反而觉得自己想出来的，写出来的，其实都很自然。但是，在外人看来，却觉得这个人怎么这么有想象力啊，超出想象了啊，也很难学会，很难模仿。

        其实，一个人只要真正琢磨一件事情久了，自然就会想出其他人很难想象出来的东西。所以，关键还是在于，孩子们是否愿意专注地、长期地去琢磨一件事情。

        扼杀想象力、创造力的，不在于内容本身，而在于教学过程中是否使用了探索性方法，关键在于是不是引导孩子们进入一个自己探索的过程。从内容的挑选上来讲，中小学数学教育中，其实可资利用的好的教学资源，即题目，其实并不多，我指的是那种，可以影响孩子的思维方式，影响孩子的概念理解的，用一个少一个，所以，面对这样的珍稀教学资源，我们强调必须让孩子自己去探索，自己去发现，老师起的最多只是引导。

        既然小教室的孩子们，当初可以跟着我，在天南地北的旅游过程中，东北，云南，青海，去思考这些数学，自愿的，没有强迫的，那么想想全中国的孩子们，其中必然有好些，也会愿意去思考这些内容的，从而塑造出他们对数学的理解，以及思维方式。

        当代已经成为数学大师的年青数学家陶哲轩，在他的《Analysis 实分析》前言中写到「我认为首先了解如何严格地“动手”进行分析非常重要，因为这有助于学生在研究生及更高的学习阶段中，更好地掌握现代、直观、抽象的分析方法（王昆阳翻译）」

        这种能力，实际上不应该等到孩子们成为研究生之后才练，既然小教室的孩子们能练，全国各地想必有相当多的孩子们也能练，只是之前缺少资料和指导而已。

         我不觉得想象力有多神秘，也不觉得正常的逻辑训练，会破坏孩子们的想象力，一如前面所说，想象力只是个名词，这个名词本身并不重要；再者，更确切的来说，真正破坏孩子想象力的，其实是不讲逻辑，不讲理性的那些教育氛围。

         中国的学生，在这方面的训练，实际上是普遍不足，所以对于我们的博士级人才的培养，是一个很大的掣肘，博士生不是到了博士才开始做研究，去思考，做创造的，而是从小累积到大的，我们的顶级人才，从小没这么干过，没这种思想上的累积，自然也就很难在整体上，去媲美于国外的顶级人才。

我们这套路线，其终点(第3阶段)正好是陶哲轩这本书的第二章和第四章，

2018年11月 我的硕士生准备为中学生主持的小讨论班：初一新生水平起步的代数学训练

一个孩子，如果能够在初中阶段，完成这个任务，我觉得可以称作是数学小天才了。这样的孩子恐怕很稀少，我们小教室只有一个孩子，达到了第2阶段，在他带领下，其他几个孩子也跟着学到了第2阶段，至于真正吸收了多少，就难说了，估计很多都忘了，如果再看笔记，他们应该也还能想起来。

至于第3阶段，则不一定是要孩子来读，因为大多数孩子，还不太可能达到这样的抽象思维理解程度，达不到就不用强学，哪怕孩子们靠高智商可以学会，但并没多大意义，不会理解。

      所以，两三年前，我建议几位超级有亲子教学热情的家长来读，好处是，跟平面几何课程一样，不需要多少预备知识，但却是非常正儿八经的数学证明思维，与平面几何课程相比来说，第二章和第四章加起来页数就40多页，页数少，不会费的时间超过几年。这些家长是超级家长，投入很大，对子女教育的抱负也很大。他们不是数学系出身，所以对于正统的数学思维方式，往往不太了解，这也是中国目前本科教育的弊端之一。我的建议的出发点就是，读这种书，对他们来说，相当于爬坡，甚至是攀岩，虽然会很有难度，消耗精力，但是他们在教子方面真的精力很充沛，那爬坡或攀岩，在策略上讲，是好过在山腰腰或山底下盘旋，没有质变。

       武超超 以自然数Peano 公理为材料的中小学教师进修课件

下面内容，则是针对更广泛的初中生

刘清翼 初中代数重复性训练“十分钟测试”的设计与实践

这篇论文，指向的是一个非常大的任务，即通过填空题和选择题的题型，每天在线测试10分钟，以测代练，帮助孩子们打下中小学数学的基础，据咨询的中学教育专家说，至少可以占到高考卷面150分之中的110分-120分，这应该还只是保守估计。

       我们因为人力有限，只有刘清翼和我两个人在讨论互促，所以把范围又限制在初中数学，初中数学里面又限制在初中代数，即使如此，我们做出来的还是很不够，那些题用来帮助小教室的孩子们进行了一年多一点儿的训练，但作为更系统的论文来说，还是有很多不足，主要是里面要牵扯的工作量太大了，非一两个人所能完成。

        这实际上仍然是一个很好的数学教育硕士生选题，并可以跟现在的数学教育网站相结合，其实我们也开始认识一些国内数学教育商业性网站的技术团队，我本人不是太主动，但是介绍研究生参与他们那儿，并以此实践为基础整理论文，我还是乐观其成的。

        里面牵扯的事挺大的，并且对于促进学生们的水平，作用也是很大的，原因请看论文，刘清翼同学的论述比较清楚，不过真正怎么落实，就不是这篇论文能够去解决的了。

         这篇论文里面包含了很多题，有不少是小教室学生们自己构思出来的，可供家长和教师们找题时参考。

相关博文阅读：

当代中学生为什么还要学平面几何？        一个孩子，如果自发地喜欢证明，喜欢去探索未知，即使这个未知，跟我们人类生活相去甚远，更确切的说，甚至显得有点儿兴趣狭窄，怎么成天就是三角形圆啊之类的，这才是数学教育中最根本的地方。我们大多数人达不到这个境界，但是，可以通过一代又一代的努力，找到更多更好的方法，让中国的数学人才金字塔，出现更多这样的孩子，或者说，使之不过早地迷失和埋没。

什么样的孩子适合进行高强度奥数训练？   这个问题牵扯到每个家庭的学习策略和战略。

小学奥数不是真正的奥数   小学奥数真的是个坑。

数学教育应该怎么做？(目录集成) 

备注1. 后面的数学教育研究生，轻易不敢招了，因为容易的部分，已经让前面的研究生写完了，再下面的，会很难，需要研究生有很强的自主研究能力了。今年就在跟三四个报考学生沟通之后，全都没有招。希望后面能好一些，这些方向都是很有价值的，主要是剩下来要弄的都比较难了。

备注2.  幼小数觉，是一个重要的研究和实践方向，但是，赵敏和王芳作为硕士论文，将这块儿覆盖之后，就很难以此作为硕士生论文题目，因为硕士论文是要查重的，不允许有重复内容的。所以，除非该研究生非常有主动性，并且跟心理学实验相结合，目标想将来有可能成为心理学博士生，才可以选择试试。

           但是，幼小数觉，又是我本人的主攻方向，所以，后面的做法，是我们会更依赖于志愿者家长们，尤其是那些，不仅仅想管好自己家孩子，还想把里面的道理搞通，在这方面长期实践，就是都有点儿像我这样的人，自己的孩子已经长大了，但仍然关注这一块儿，认为是数学教育的一块儿短板，值得去作为一件事儿来认真对待。 

           所以，我们征召那些文字整理功夫比较好的家长们，相当于跟我又读一个数学教育的硕士，他们/她们起到的作用，就像赵敏和王芳那样，帮助把更多家长孩子们的数觉实践，进行文字整理和视频通俗化录制，欢迎加入，可以找这个微信小群的志愿者家长群主联系。 数觉营磊磊小组招募公告