我的硕士生为中学生主持的小讨论班：初一新生水平起步的代数学训练

王永晖

老师不是我本人，是我的硕士生任晶莹，人比较踏实，所以我愿意推动她来做做事。

讨论班相当于为她的硕士论文做的一个实习活动，让她的论文更加实际，有血有肉。通过网络工具zoom，网络教学。时间可以灵活安排，可以是现在，也可以是寒假期间。

教学内容分为以下三步：

Step1.   我指导的张亚杰硕士论文, 小学高年级阶段的代数学训练    任务是，将加减乘除的五大运算律当做公理，来推出其他常见的代数公式。采用探索性教学方法，孩子们不是看张亚杰的论文来学这些证明，而是自己去发现证明，并且，因为有很多代数公式要去证，先证哪个，后证哪个，老师也不告诉，而是让孩子自己去尝试，证明中如果发现利用到了尚未证明的公式，那么就应该先去证它，这样顺藤摸瓜，就找到了整个脉络。

          这条路，我们小教室的孩子们走过了，最开始他们才小学五年级，有两个当时才小学三年级，后来发展的并不比大孩子弱，孩子们的证法，最终比张亚杰论文里的证法，还要更自然，所以，这也是任晶莹重新写这一部分的一个原因。

          这一阶段的教学，可以是很灵活的，不仅仅是证明，还可以跟速算算法的学习相结合，即破解那些算法为什么是正确的，这些速算算法的破解，本质上也是相当于初中生的能力，但是比较好的小学高年级学生就可以开始接触和学习，这是我们使用的速算算法书的下载地址，书写格式比较正规，也符合我们教学时，先看算法后破解的需求。

Step2.  A. Adrian Albert-College algebra (1946)  美国四五十年代，给师范生的教科书。阅读第4页到第10页。任务是，解决正正为什么得正的问题。 负负得正，已经在Step1得到了严格的证明。这本书的这几页实际上蕴含着正正得正的严格证明，其实就是数学归纳法的源泉和第一次显现。

         Step1不需要阅读，主要是自己去证明。从Step2开始，学生需要自己先去看书，然后把书上的读懂了之后，转化为自己的证明。老师在此过程中负责引导，并且指导学生做出符合格式规范的笔记。

Step3. 陶哲轩, Analysis  I.  阅读第2章第14页到第36页, 皮亚诺公理体系,Peano axioms. 相当于将前面Step1和Step2真正升华，因为Step2的证明，还有一些是不那么严格的，也不那么彻底，有陶哲轩的讲稿(包括他的博客和上面的网友讨论)做底子，孩子们可以学得更透彻一些。虽然这一步是大学生级别的内容，而且是极个别大学的课程，现在一般的大学数学系都不教这块了。

          大家可以在该书序言里，了解陶哲轩为什么还要教这些内容的理由。

          我们为什么要到第3步才用陶哲轩的讲义呢，主要还是循序渐进，即使是数学小天才，他们的发育之路也是由浅到深的，其实在初中阶段，能够真正把这部分内容看懂，已经是很了不起了，所以尽量还是不要心急，不要想着一上来就看陶哲轩的，如果Step1, Step2都弄不下来，就根本没必要看到这第3步了，不能光图名气大，陶哲轩名气大，水平高，是给我们个底子，保证方向没错，但不是每个人都能做到的，量力而行，即使想直接上第3步的家长或孩子，也应该把Step1, Step2当做一个通关过程，通关不成，是不能跳级的。

          如果觉得Step2, Step3过于抽象，不感兴趣，但是Step1还是能够顺利通过的孩子，也可以Step1之后，先读刘尼的《因式分解》，这个也可以属于本项目的实习范围，根据学生情况灵活调整。

学生对象，应该说还是需要一定水平的数学天赋的，对抽象的数学思维有天赋。真正的数学并不仅仅是从生活中来的，还来源于人类的抽象思维能力，有些人，就是喜欢去抽象地、严谨的思考。

         就我们所见，数学能力，是不分年龄的，那些有数学天赋的人，在他们初中时，甚至是小学高年级阶段的思维能力，就已经远远超出了普通数学系本科生。

教学所需时长：因为这个教学是免费的，所以，孩子们觉得不合适了，不喜欢弄下去了，随时都可以停止。至于坚持下来的学生，需要多少时间完成这三步，我们目前也无法做出明确的估计，因为我们的教法不是老师讲，而是学生做，学生讲，老师仅仅起到把关的作用，学生看不出自己的漏洞时，老师给指出来。

那些数学小天才级别的学生，可能几次就可以弄完。而那些虽然优秀，但还没达到极高天赋与相当数学成熟度的学生，可能就花的时间会多点儿，主要还是看个人意愿。

当然，跟家长态度也有关。因为这些内容，估计跟奥数考试没什么关系，只是一种基本的数学修养，孩子们现在时间紧，有余力，有兴趣的孩子，估计才能坚持下来，愿意支持孩子参加这个项目的家长，肯定是对数学有一定的认识，知道这里面的长远价值。

讨论班学生人数，不超过6人，其实也是为了预防有人退出，才设定为6人的，其实只要有愿意坚持下来的，两三个学生就好。根据我们的教学经验，即使6人都能坚持下来，真正能讨论起来，能次次都讲的也就两三人，所以刚开始招的学生不妨多一点，超过6人也可以，但绝对不可以超过9人。

我的研究生任晶莹的联系方式：微信号请加 RJYeninging 

收费情况：这个项目是不收学费的，但是如果孩子们坚持下来了，感觉确实受益了，建议还是之后给授课老师一些津贴，表达一点儿心意。我们之所以采用的是捐款多少随意的方式，也是为了保证这个项目更加学术化，真正以学生兴趣和能力为门槛。

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