符合人才培养规律的小学数学教学

王永晖

人才培养规律，在我们前面的博文《小学数学教学的思路》中介绍过：

1. 两端对称的规律。

创造性习惯(幼小阶段)->读书习惯(小高初中)->做题能力->读书能力(大学)->创造性能力（博士生）

据说，中国文化恰恰忽视的就是这两端。即，创造性活动的习惯和意识。中间的做题能力，还有紧邻的读书，还是中国传统文化所重视的，只不过具体到数学上。也不是大多数人能够具有的，甚至就读书能力来说，很多中国数学家，包括我自己，恐怕也未达标，看下一代了。

2. 技能与知识，努力与天赋的阶段性培养规律。

Step1. 天赋×努力÷知识=技能

Step2. 天赋×努力÷技能=知识

Step3. 知识×技能÷努力=天赋

Step4. 天赋×努力=知识×技能=成功

也就是说，幼小阶段的人才培养，应该以创造性活动为主，或者说护育他们的创造性习惯，即，孩子做他们想做的事情，这种教育观点，目前还很少，更遑说体现在具体的学校中了。

同时，幼小阶段的人才培养，以培养孩子的技能为辅。也就是说，我们每天要花一点的时间，就像小苗浇水一样，一次浇的太多并不好，技能的培养就类似如此，但是，要每天都浇，坚持下来，效果就有很大不同。

幼小数学的教学，我们分为概念引入和日常练习两部分，日常练习，就属于技能的培养，经过几年的探索，我们还是做出了一些很不一样的东西，不是故意为跟前人不同，而确实是前人没有做，而其实应该做的。

日常练习的目的，是为了刺激孩子的大脑功能区，所以，1. 并不在于数学题本身的难度，难度再高如果对孩子的刺激性并不大，其实并不好。2. 增加触觉方面的配合，3. 增加猜算，4 不光数字的数觉，还要有代数的数觉（Number Sense）。

这里稍微介绍一下：

1.  3岁左右，最早的数数阶段，即只会数个位数的时候，就可以练习我们开发的握手数数和六边形点位符配对，我们相当于解决了这个阶段的教学内容问题，让这个阶段的教学不会那么枯燥和单一，同时又高能。

2.  接近6岁，学习数到120或更高多位数，继续练习握手数数，随着熟练，可以再加上相配套的拼塔游戏。拼塔游戏，跟工作记忆能力很有关系，即，工作记忆能力，反过来又需要借助数字能力。

3.  接近6岁，可能在数多位数之前，就会个位数加法，这时候可以开始练习百格计算（百度：阴山英男），同期握手数数+拼塔游戏。六边形配对，可以增加难度，进行求和式配对，但如果孩子们觉得太难，可推后到下一阶段。

4.  小学7、8岁，利用概念引入的方法，探索性学会多位数的加法，可以在百格计算的时候，改变形式为百格猜算。六边形配对（求和式），如果有必要，继续练习握手数数+拼塔游戏。

5.  小学7、8岁靠后，乘法九九表学会之后，拍手背乘法九九表练习熟练性，孩子们正背倒背，快的可以进入1分钟，稍微慢的也进入90秒，按照孩子个性不同而不同，没有绝对标准。 开始乘法的百格计算。

6.  利用概念引入的方法，学会多位数的乘法，开始练习乘法的百格猜算，熟练后开始练习手指掐算。

7.  小学高年级阶段，代数学的数觉训练，之前的概念引入可以做小学高年级的代数学恒等式的证明，但同事说太难，万分之一小孩才行，可我们现在就已经弄出4个孩子。

握手数数+拼塔游戏，拍手背九九表，百格计算（个位数）或百格猜算（多位数），手指掐算，六边形配对，代数练习。这些不好在纸面上解释，这里仅为记录，供自己整理思路。

那么，小学应用题，放在什么位置。实际上，现在小学“奥数教程”上的速算/巧算题，也是应该算在代数练习里面的，速算/巧算题，还是为了让孩子们养成代数学的感觉，所以是很可取的，但从某种意义上来说，毕竟没有字母在里面，从大脑刺激上来说，还不够，需要改变形式，把字母甚至人形符加进去，所以，我们将之称作代数练习，而不再称作速算/巧算。

小学应用题，则走的还是技巧性的路，主要还是锻炼技巧性，从我们的人才培养规律来看，达到一定程度就可以了，因为这种技巧性，还不是真正的技能，对后期的延展性不够。这跟初中的平面几何还是不一样的，平面几何，在知识上来看，后面虽然是用不着的，但是，从技能上来看，平面几何所培养的数学思维方式，即证明的思路，无疑在之后是通天大路，延展性是数得着的，从数学史的角度来看，也是我们数学文化之根，所以，平面几何是IMO国际奥数竞赛必考的，乃至自主招生范围。

所以，如果不把小学应用题，跟代数练习相结合，就属于走偏了，但是跟代数练习相结合的时候，又不必非要是方程组解法，这方面可参考一下新加坡教学，其实，我见到的北京八中优秀教师，也是这么教的。

Model-Drawing，新加坡数学教学领先世界的秘密

这样子，就给代数学式子更多的现实背景，对于增加孩子们的代数学感觉，应该是合适的，当然，从那篇新加坡数学教学的博文来看，还是远远不够的，如果读者们有更多资料，欢迎来分享。

什么叫代数学感觉，这里稍微解释一下，我们现在用阿拉伯数字来表示数，所以在第一阶段的时候，有六边形点位符配对，点位符就是几个点和其位置，一个点可以自然地表示一，一个点位符有几个点，就自然地可以跟某个个位数字对应，还有握手数数，从而让孩子们对阿拉伯数字，产生数觉，不光是记住，还有深深的大脑功能区的反复刺激才行。

人的大脑功能区，高级功能都是叠加在低级功能上面的，所以，我们要先刺激低级功能（数数和计算），刺激够，刺激不够，就过早地去上奥数班，去练所谓的高级功能，显然是分散了孩子的精力，完全不符合我们的人才培养规律。

我们现在学习数学，不管是证明还是（计算机）算法，都是字母符号，A,B,C, alpha, beta之类，那么我们的大脑，对此做好了准备，是否已经自然地把这些字母，当作了数学对象了么？也就是说，对这些字母，也能够产生阿拉伯数字那样的数觉了么？

我表示怀疑，因为数学真正进入门槛的人，能够自发喜欢数学的人，还是少。即使就IMO奥数金牌来讲，这么强级别的人了，我刚看到几个案例，北大数学系毕业，竟然没能拿到直博资格，也并未成为高科技工作者（不一定非是数学，但至少是高科技吧），这说明什么，起码说明，大学数学没有吸引住他们，也就是说，他们是拿到了IMO金牌，但是没有跨入数学的门槛，没有产生出足够的“数觉”，让他们迷上数学。

当然，这只是一方面，属于动力方面，另一方面，则是定力方面，属于人生修养。

不用说大人，小孩子高年级阶段开始学奥数的时候，大脑做好了这些代数学的准备了么？如果没有，小学阶段过早进行奥数技巧性练习，恐怕是误入歧途。。

很多孩子，更喜欢用数字为例子来想证明，就是一个明示。小孩子们，需要花那么长的时间学会数数，真正学会数数，不仅仅是概念引入上需要花功夫，也是因为日常练习需要积累，才能够产生出对阿拉伯数字的数觉，让大脑功能区的本能，跟这些符号联系起来。那么，很自然的，代数学的数觉，也就是说对字母符号的数觉，肯定也是要花相当长的时间来建立的，绝不可轻视。

别看一个教室的同学们都在学数学，但是他们在数觉上的能力可能是有很大不同的，真有可能，很多同学就是输在了这个起跑线上，一辈子学的都是假数学，光是形式没有感觉了。

当然，我们探索出来的这些东西，目前还很少见，人类教育发展了数百年，怎么还会让我们捡这么大个漏子呢，我开始也是很惊讶，但后面也就释然了，人类不完善的东西还是太多，也许我们人类要面临毁灭的时候，仍然会在很多基础的方面是不完善的。

我们的探索，自然也有很多不完善的地方，孩子们帮助我优化了不少细节，不过随着这批孩子的长大，进一步的探索，得轮到下一批的孩子了，也就是说，只能等到我们筹办起一所新式学校/学堂，再做的比这批孩子更深入了。

不过，要说的是，正是因为这批孩子的数目比较少，所以，我们才可以做这么大胆的教学探索，所以，对于教学探索和教学研发来说，小班课堂非常重要。精英教育方面，美国的Philps Exeter高中大名鼎鼎，课堂上只有12个学生。

我们将来要办的学校，班级是混龄的，人数不见得少，一个班36个学生，一个学堂3个班108个学生。但是具体的每个课堂，则要做到比较高的师生比，1:6为最好，适合做教学研发，但是根据推广成本和实际情况，可以缓冲到1:9或1:18.

要真正让孩子，既能学好，又能玩好。玩其实也是学，只不过目标更久远。

附注1 . 我们现在为什么准备让几个大孩子开始读《平面几何》了呢，也是从这个人才培养规律出发，1. 孩子们代数学感觉有基础后，就可以开始几何证明了。2. 孩子们可以开始培养读书习惯了，甚至可以利用亲子阅读的方法，陪着孩子练起数学上的阅读能力。  中学低年级基础：《三S平面几何》读书班

附注2. 可能读者家长教师们，会感兴趣我们的那些小训练，我们其实也是很希望有别的团队来实验的，但这些实验，必须有坚持性，有团体性，因为小孩子的数学，还是要4-6个集体学的，最少也得2个配对。如果缺乏这些条件，请勿贸然跟我们联系，关注一下我们的豆瓣小组就可以了。