小学数学教学的思路

王永晖

小学阶段，尤其是幼儿园和小学低年级阶段，实际上是思想非常深刻的数学教育阶段，只不过普通家长认识不到，以为都很简单，就匆匆走过了，遗失了非常好的教育机会，把最有价值的那些教学材料往往是浪费了。

这里面的创造性极大，对于孩子的难度，其实是非常高的，可参看我们的教法：

我们开创的小学数学新教法

我们提出小学数学教学的思路是：

1. 幼小数学阶段（幼儿园和小学低年级），还是不要去培训机构那儿学数学，最好是由家长来教那些创造性最高的“概念引入”环节。

2. 幼小数学阶段，其实最重要的并不是追求做题的技巧性，最重要的在于发掘孩子自己的创造力。

我的理由是，其实，创造力的培养，或者说挖掘，在于两端，一端是幼小阶段，另一端是博士阶段。这两端，是最有创造力的。后者容易理解，前者，如果大家看一下我们前面提到的新教法中的那些内容，思想的原创性上，肯定是比中学内容要高。那些思想，本来就是在大学才真正讲透，而我们教材的贡献是，致力于让一部分孩子也能弄懂，甚至是自己探索出来的。

我们在进行幼小教育之初，几年前写的文章

幼小阶段数学教育的真功夫  （注重专注力，注重敏感度）。

经过这几年的实践，小孩子们的表现，给了我们更深入的感悟。我开始怀疑，奥数教育在小学阶段的必要性。

我的理由是数学能力的进步顺序：中学锻炼解题能力，大学锻炼读书能力，博士锻炼研究能力。那么，小学呢？

如果我们形成一种两端对称的观点的话，也就是说，幼小阶段和博士阶段，都锻炼的是创造能力，只不过博士阶段水平更高，更容易发表文章，因为是前人没有研究过的。

小孩子，虽然不太可能做前人没有研究过的，但是，其过程确实是他自己想出来的，而不是别人告诉他的，那么这种也算做创造能力。

有了这种两端对称的想法，我们很容易总结到，从幼小阶段到博士阶段的学业顺序，似应为：

创造性活动为主（幼小阶段）->读书活动为主（小学高年级与初中低年级阶段）

->做题能力（中学阶段）->读书能力（大学与研究生低年级阶段）

->研究能力（博士阶段）

我现在要分两个方面来说，一方面，从这个图谱顺序，可以说明为什么不少中国的奥数冠军，最后没有成为数学家/科学家，这种思维领域的高端人才；另一方面，我想从人才的成功规律，来说明奥数，即锻炼做题技巧在中学阶段是很有必要的。

中国的奥数冠军，最后有多少成为数学家/科学家，也就是大学教授或者高科技公司里面的高级研究员，我手头上也没有数据，只能从报道中大概的了解一二，希望权威机构还是做一些这样的数据，公布于社会。

我们知道，成为一个数学家/科学家，光有解题技巧是远远不够的，还需要有文化底蕴，需要有将才、帅才，这就跟创造力，读书能力，是成相关性的，如果自己没有独特的主意，怎能服众，怎能成为帅才、将才。

北美讲座实录｜数学大神们谈如何培养孩子对数学的兴趣

这是科学网博主蒋迅老师做的笔录，打了很多字，感谢！其中有一位奥数金牌，据我的本科生讲，现在到高思教育做专职老师，在他们印象中其实表现的很不好，意思是，不会做题，光会瞎讲了，我有点不相信，姑妄存之吧，毕竟奥数题是很难的，奥数金牌也做不出来奥数题，完全可能。

讲座是一问一答形式的，我想到一个问题：那就是奥数做题，会不会影响一个人的数学品味，最后反而让他无法成为数学家。

凡事有利有弊，毕竟还是有很多奥数金牌，成为数学家的。有些奥数金牌，之所以没有成为数学家/科学家，肯定不是因为他们不聪明了，很可能的原因，是他们缺乏品味，数学与科学，吸引不住他们。

那么问题来了，是他们本来就没有品味呢，还是奥数训练，过多地伤害到了他们的品味。

这个问题，说起来就复杂了。我们这里就不详细分析了，毕竟我没有到那个级别，我既做不出来奥数题，又不是最优秀的那一级数学家，所以就不能妄自揣测了，但是，这些信息已经足以向我们表明：

至少是小学阶段，奥数教育在利弊分析上，还是需要慎重的，我们更重要的应该是，在这个阶段，激发孩子们本身就有的创造力，他如果喜欢玩泥巴，胜过学奥数，那么我们还是应该让他玩泥巴，因为这是他的创造力所在，据张五常的说法，这也是孩子们的想象力所在，培养技巧容易，培养想象力难。

那些虽然得到了奥数金牌，但最终在人生道路上没有选择成为数学家/科学家的，也许就差在小时候的创造力活动、想象力活动上，过量的奥林匹克式训练，又进一步伤害了他们对数学的品味。

凡事没有绝对，有些人经得起伤害，因为本体就大，这是天赋，有些人本来就不多，虽然仗着聪明得了比较好的成绩，但是看不见的品味被损伤了，后面自然就干不成数学/科学，或者有些本来就干不成，奥数培训的结果是更干不成。

小学生中的创造性活动，我们应该是大力推动的，相比于奥数教育来讲，可能更为重要。这里要说的是，玩泥巴，肯定是要比小学的科技课、计算机课，更有创造性。

因为我们国家一些学者的呼吁，小学现在有了科技课、计算机课，但是，那都是些什么玩意儿啊，真是浪费了小学课时，孩子们真正有时间，玩泥巴也比那些强。

不是说，玩电就是科技，玩计算机就是科技，更不能把科学知识像录音机样讲一遍就是科学课，而玩泥巴就不是科技，要知道，木工，衣工，陶工，是人类最早的高科技，我不知道我们国家那些学者是怎么回事，不晓得教育的历史，就是人类的成长史。

既然呼吁了科技课，那就真正把它做好，现在弄得不伦不类，是落实不好，还是这些学者们学养有限，存疑吧。 其实，我看过美国的加州科学课教材，其实意义也不大，也是属于灌输型教育。譬如说，阿基米德的浮力定律，如果用探索性教法来看的话，实现难度是非常大的，然而在美国教材上，一样是最重要的地方一略带过，完全打不到关键上，那还不如不教。

玩泥巴之类活动不仅有孩子们的自主性、创造性，里面牵扯到的直觉，会给孩子们以后的数学学习，打下更深的直观基础，有著名数学家认为，数学来源于物理，其实就是类似这个意思。

现在，我来说第二个方面，那就是，做奥数题，进行数学上的技巧性训练，在中学阶段还是很有必要的。

现在，我先说小学阶段，奥数题起到的作用像什么，我现在觉得，很像智商测试。智商测试，就是只能作为测试环节，而无法作为学习和训练环节，因为那些智商测试题，不具有学习上的延展性。

说实话，很多智商测试题，就像图形推理，肯定是可以训练的，训练了之后，分数肯定会提高，有心理学家说，如果再过一段时间不训练了，成绩又会落下来。其实，这跟做数学证明题是类似的，题目当时会做了，过了一阵忘了又不会做了，然后接着再做，经过数次这样的过程，最终肯定就会了，能力也就上去了。

清华大学数学系前任系主任文志英，把这个过程称为“刷油漆”，他可能是文革中干过这种工作。我则取了一个专有名词“忆筛”，用在读书过程上。智商测试分数，按照这种办法，肯定是可以提高的，关键是，提高了之后，用处有多大，也就是在教育上有多大的延展性。

可能的估计是，延展性比较小，所以，智商测试题，只是拿来测试，而没有被容纳入教育内容中来。

小学阶段的奥数题呢？我怎么感觉跟智商测试题类似，只是用来测试孩子们的数学直觉，而不是用来进行训练的，拿着奥数题做来做去，会不会就跟有些人智商低，拿着智商题做来做去一样，即使成绩升上去了，其实意义不大？

奥数，更像是一种考试，一种选拔，而不像是一种教育。现在奥数题越出越难，其实连选拔这种意思，似乎都偏离了，因为大家都不诚实了，都去刷题了（刷题的定义是什么，求解，如果是自己独立做出题目，肯定不能叫做刷题吧）。

我们有必要确定一些核心的题目，有些小学奥数题，还是很能够展现孩子的思维能力的，我们现在重启数学课的课堂记录，会放到豆瓣小组上，https://www.douban.com/group/319076/. 像都都最近的表现，那是真做出来的，不是靠训练出来的。

我在想，我们要训练其他孩子，也像都都那样么，也许不需要，也许这种数学直觉，是无法靠训练能得出来的。

即使是都都，既然奥数题像智商测试，那测试到一定次数也就够了，也不用天天测试。不过，因为现在小升初的隐形存在，名校与培训机构私下里挂钩，考的都是奥数题，题量很大，基本上只有做过的才可能得高分，不会留时间给孩子们自己去想，像都都和月月这样的孩子，能力很强，如果考上重点中学，那么上北大、清华的可能性，就会大得非常多，在现实中，家长们无疑还是会做出最现实的选择。

本文就不关注这些方面了。不管怎样，小教室的时间，还是会用在刀刃上，即，小学高年级阶段的代数学训练。

现在，我们接着说中学，即，奥数/做题能力在中学阶段还是很有必要去训练的。

这就牵扯到我们的另一个认识，最近美国心理学家Duckworth将“天赋×努力=成功”的公式，分解为两个公式，给我很大的启发，我接着进行分解，得出如下公式：

Step1. 天赋×努力÷知识=技能

Step2. 天赋×努力÷技能=知识

Step3. 知识×技能÷努力=天赋

Step4. 天赋×努力=知识×技能=成功

大家注意一下第3步，天赋是可以改变的，这是我的相信，但是，很多人没有耐心走到第3步而已。第3步的除号的意思是，这个阶段，就不要有那么多表面上的努力，不能让自己好像忙个不停，而是在别人眼里很闲，这样分母越小，所得数值才更大。

很多中国数学家/科学家，到了这个地步，盛名之下，忙于杂事，那也算是一种“努力”，会使分母变大，如果很闲，闲的像钓鱼那样，闲情逸致，才算做真正的“不努力”。

其实，这里面的哲学，也有来源，老子的哲学，就是“为学日益，为道日损”，就是不努力，闲下来。

很多人没到第3步，也是因为还没有积累到足够的分子：知识×技能，所以需要前面两步，所以，我们需要一个教育体系，帮孩子们慢慢完成前两步。

技能，是非常重要的。像我们的书法老师（新浪博客：古典书法），就厘清了书法学习中的技能是什么，至少最基本的技能是什么，如果连最基本的技能都不知道是什么，那就很难去练。

数学，在幼小教育阶段，最基本的技能，无疑还是计算能力，以前说过，这里就不多说了。

现在，就说到中学的解题能力，就是属于数学第二个阶段的技能，为了锻炼技能，我们需要分母上的知识量要小，这也就是奥数教育在中学阶段的意义所在，牵扯到的数学知识少，正好可以帮助同学们更好地锻炼数学技巧性。

所以，我还是赞成孩子们根据各自的能力，在中学阶段进行解题能力的训练。尤其是按照我这种学业进步顺序，在小学阶段已经打下了基础，孩子们进行了相当程度的创造性活动，读书活动，在中学阶段开始训练解题能力，就更不容易走偏，更不容易损伤到他们本身对数学的品味。

尤其是，我这里要引用一下北美讲座里面的一句话：

『王峰：关于解题技巧，做最少的题，学最多的东西，正是和我们的教学方法不谋而合。这需要精选高质量的问题，既不直接“教”，也不单纯靠“孩子自己悟出来”，而是根据孩子已有的知识和自己的思路，一步一步引导到让他自己悟出我们要教的东西。这样他们就学得非常扎实，而且是根本上的在思考方式上的提高。』

建议感兴趣的家长买一本《完美的证明》，里面介绍的俄罗斯奥数教育的方法，也是这个意思，说的要更详细一些，跟我们小教室现在所做的，感觉是完全一样，当然我们在难度上肯定是远远不如了，这里说的是教学方法。

第2步中的除号，技能放到分母上，等号右边是知识，说的是什么意思呢？就是我们到了大学阶段，进行知识积累的阶段，我们需要把前面学到的技能，进行整合，知识越学越多，但是技能不能变得越多，反而要因为知识的增加，而进行统一，学贵在贯通。

附注1.  那么，小升初怎么办呢？其实是有办法的，我在前面的博文中给出了，当然，不是从家长的角度，而是从出题人的角度，如果是我们数学家来出小升初考试题的话，我们应该怎么做？

附注2.  学业顺序如果结合上述知识技能的公式，第一个读书和第二个读书的区别就在于，第一个读书主要锻炼的是技能，读书的能力，并不在于读太多的书，可能反而不好。第二个阶段，则着重于知识的增长了，人长大了，知识不长不行啊。 创造性活动也是类似，第一个创造性（幼小阶段）与第二个创造性（博士阶段），是有区别的，不能用第二个阶段的标准，来要求第一个阶段，第一个阶段孩子表现的傻一点/笨一点，并不意味着真笨，还是要用灵气来看孩子。

创造性活动为主（幼小阶段）->读书活动为主（小学高年级与初中低年级阶段，偏于技能）

->做题能力（中学阶段）->读书能力（大学与研究生低年级阶段，偏于知识）

->研究能力（博士阶段）