什么样的孩子适合进行高强度奥数训练？

王永晖

奥数确实是存在非常危险的副作用的，前文有三个，今天在本文后半部分再补充三个。

第一个危险来源于孩子半懂不懂，囫囵吞枣，死记硬背，养成了不好的学习习惯，以及过于追求技巧的思维习惯。中小学数学的一条主线，是培养孩子们的“数觉”。算术和代数的“数觉”，是一个非常重要的关口，依我之见，这个世界上的大多数大学生并没有真正跨过。

为了培养“数觉”，并不是越难的题，越好。这是美国的奥数题试卷，AMC8，8年级的考题，看上去比我们的小学奥数题要难度更合适，从数学普及的角度来说。

奥数技巧还是讲究天赋的，天赋高的孩子，看到题，甚至一两秒就能想出头绪，而普通孩子，花上两三个小时，可能还一头雾水。

人和人之间，是不能比的。数学并不只是奥数，有些孩子喜欢数学，但却未必喜欢奥数，或者说擅长于奥数，强扭他们去做奥数题，其实伤害了根本。

这种孩子，其实比较适合老老实实地读书，读第一遍第二遍的时候，就做一些基本的题，如果有能力，则从第三遍开始再做高级别而又有启发性的难题。

实际上，大多数孩子，都适合这样的学法。可惜的是，国内目前经典奥数教材的作者，当初编写教材的时候，没有从这个角度出发，没有注意到这个教学特点。

我知道有学生，智商其实挺高的，有的能达到130多，还有个能达到150，但自己小时候瞎看奥数教材，也没老师指导，结果越学越糊涂--思维方式和学习习惯，连正常的大学内容都学不懂，或者说学不好了。

数学题目过难，另外会迫使很多考生从小开始就采用模仿而非自我探索的方法，以应付考试。

很多孩子跟着奥数班，与学校同步教学，甚至还要超前于学校教学，这种过于偏重的技巧性，恐怕恰恰是毁灭了其中大部分孩子的“数觉”，导致他们在大学阶段反而学不好数学，没有根基，总有一天要受到反噬。

相比来说，美国的奥数机制，感觉上更照顾普及，AMC8的题目，对于百分之一级别水平的孩子，还是很合适的（用来培养数觉），或者在中国是十分之一，水涨船高。

我们实践所见，可能很多孩子会经历一个逻辑混淆期，也许是他们的大脑在尝试各种可能，很明显，这个阶段也并不适合做难题。原因可能很多，另一个更为根本，家教规则是孩子们最早的逻辑课，如果是这方面出问题，则解决起来会更难。

第二个危险则是，数学，尤其是奥数题，是非常费脑子的，即使孩子们学习方法正确，都学会了，但是，他们的大脑在剧烈运行之后，能不能够把代谢产生的废物排出去，则因人而异，看各人的身体资质了，这就跟喝酒的体质类似。

并不是说，一个小孩子看上去比较聪明，看上去比较有数学天赋，他的大脑废物排泄率的天赋就一定高。

如果不能，那么大脑废物就会在头脑中累积，这其实就像是雾霾一样，你表面上看去，孩子没什么事，知识积累的挺多，一直在拿奖，但为什么突然有一天成绩掉下来了呢。这是因为，如果大脑雾霾积聚到一定程度的时候，就是无法逆转的，或者至少说，是需要花极大的毅力和投入，才能再逆转的。

这方面的禀赋，因人而异，所以，最关键的还是孩子的表现，如果孩子已经不想学数学了，家长还逼着孩子学，其实，就阻碍了孩子排泄大脑废物的过程。

第三个危险，  是每个孩子学习数学的精神储备，俗称动力或兴趣。换个比喻来说，每个孩子都有一个学数学的精神上的本钱，学奥数，不见得一定是增加了孩子的这个本钱，就跟上战场一样，很多时候是在消耗。有些人本钱大，可以一直挥霍，挥霍到能拿奥数金牌，但是却还没有成为数学家/科学家的，这在中国也是多见的，甚至连博士学位都没拿到，那就太不值当了。  

其原理，我们在前面的博文也分析过，中学是训练做题能力的最佳阶段，但是，训练做题能力之前，还要先训练阅读习惯，阅读之前，则还要先有创造性活动（主动性活动）的习惯，平白的说，就是玩，小孩子有干自己喜欢干的事情的时间。

学数学的时候，不光是积累知识，训练技巧，更需要注意储蓄精神财富，即使是天才，光在那儿消耗，也总有一天会埋没掉的，我们在大学生中已经能看见这样的一些例子。

以上引自《小教室今后几年的教学计划和招生广告》，稍有文字增删。

本文再补充后三点， 第四点跟第三个危险类似，我们学数学，既要增进能量的积累，这是第三点说过的事情，同时，又要增进孩子们对数学美的认识，这是第四点。奥数，不见得对这两点都能有必然的促进。

我们只有具备欣赏数学美的能力，才有可能将来做出创造性的工作。孩子们即使是数学小天才，他们对数学美的认识能力，也是逐渐发育的，很有可能的是，这种美感的大脑发育，持续到他们40岁才达到顶峰。奥数，毕竟是考试，考试就是要把所有的题型都会做，更像是上战场，而不像是搞艺术求美，这个过程就像第三点中所说是消耗能量，补充不足是一个危险，打仗的时候杀红了眼，没有闲情逸致去欣赏美，是另一个很大的危险，大脑就无法在数学美这一方面得到发育。

有些孩子，表面上看很聪明，但也有可能因为当前奥数学习的某些不当操作，将来长大了反而成为不了数学家/科学家，缺乏对美的敏感性了。

菲尔茨奖得主阿蒂亚 Atiyah："我们欣赏数学之美动用到的大脑部分与欣赏音乐、艺术和诗歌时动用的大脑部分完全一样。这是个大发现"。

数学题，最美的往往是最基本的，但因为最基本，反而不太会在考试中出现，如果急功近利型的，为了赶考试的进度，就把这些最美的地方匆匆而过，孩子们毕竟是孩子，不见得老师把内容匆匆而过了，他们自己却能在底下慢慢琢磨和感受，实际上不仅仅培训机构是这样，我知道有著名中学也公开宣称在教学中采取这种态度，反正把对基础知识的理解，压力都交给了孩子自己，悟性高的勉强应付，悟性低的可能遗害终生。

奥数是考试，就要求尽量把所有可能的题型都会做，但毕竟比普通级别考试要难的多，题目具有很高的技巧性。我们若从美感的角度来说，普通的题目，孩子们可以不挑口味，都得会做，但对于高级别的题目，则应该允许孩子们有选择的自由，喜欢的题就做，不喜欢的题就可以不做，但这又跟考试目标在本质上是有所冲突的，所以，即使对于具有不错数学天赋的孩子，如果在尊重自由选择的前提下，也不见得是人人都适合去参加高强度奥数训练的，去掉功利性，把它当作一个过程，对最高级别的题目，本来大多数人也都是走不到那个级别的考试的，不妨就放下心来，允许在学习的时候挑着做，不要把它当作考试去求全。

这就跟我们前面所说的，正好可以衔接住，读书，读第一遍第二遍的时候，就做一些基本的题，如果有能力，则从第三遍开始再做高级别而又有启发性的难题，第三第四遍做题的时候，应该让孩子自己选，想做的就做，不想做的，不要因为奥数是个考试，为了求全而受迫去做，这样，才能真正护育和培养孩子感悟数学美的能力。得不到奖就得不到吧，真正走到这步的孩子，其实已经很强了，比上虽不足，但是下面比他低的已经是非常多的大多数了。如果孩子特别聪明，迭代得快，自然就会达到应付考试覆盖面的程度，或者在某一点上学得很深写出论文发表，两种都可以拿个奖得到现实利益。我们各人看各人的实际能力，不要努，过于努，伤了根本，反而得不偿失。

至于真正的数学天才，底蕴深厚，也许不会受到当前这种奥数培训太大的影响，反正胃口好，什么东西都能吃下，不过，这种说法也仅仅是理论上的，从钱学森之问来看，天才的孩子，受到教育的影响还是很大的，从而解释我们国家为什么一直不能产出足够的最顶级人才的原因。

第五点是从大学教学反馈得来的，我们还是应该相信潜意识的理论，这确实在我们的学习实践经验中有体现。我们在数学上，往往称之为直觉，很多时候，题也是自己做出来的，但是仍然感觉自己不懂，直觉上不懂，奥数训练中过于注重刷题速度的孩子们，会忽视掉这种直觉上懂的重要性，反正各种级别的考试题都能会不就行了么，这也许是中国一些奥数金牌/优胜者在大学阶段反而学习不是太好的原因。

       这就是个人内心的要求，有些人对自己的内心要求标准低，过于注重外在，总有一天就很难上去，因为数学是让任何一个个人都要丧失信心的领域，即使是再厉害的奥数金牌，总有一天会遇到超出他个人能力的数学，只是迟早而已，比所有人都能迟的遇到，那就是“神”一样级别数学家了，一百年才能出来那么几个的。

       能够坚持学数学的人，是靠的他们内心的标准，靠他们在数学直觉上的微小收获所带来的巨大喜悦。

第六点是，有两类中国家长：

一、不知道中国的奥数有多难，以为是只要靠孩子的努力就一定能克服的，这在前面第一点中可包括。

二、即使是那些高智商孩子的家长，他们让孩子去学奥数，主要看的还是升学的好处，绝大多数都并未想着让他们将来成为科学家/数学家这样的学者，并没有著名模范家长蔡笑晚的雄心壮志（不了解者推荐百度，很有意义）。

这些高智商的孩子们，费了半天劲，也拿了奥数奖牌，进了北大清华或者国外名校，可是其中有些人连博士都没拿到，还有一些人，也就是毕业后去一些公司打工，做的明显不是研究工作。

他们的家长，估计大多数没有真正见过科学家/数学家，不知道他们是干什么的，或者说不觉得大学教授是个挺好的工作，没想着让自己的高智商孩子成为大学教授。既然这样，以终为始，他们的教子策略，很有可能是把自己的孩子给抹低了。

如果家长乐于让孩子去挣钱，名曰金融，或者去公司，反正是做他们在大学毕业之后的人生中真正做的那种非学术工作，其实没有必要让他们学奥数的，对于这些高智商孩子来说，很有可能学奥数，反而是耽误了他们未来成就的高度。

本来可以是帅才、将才，奥数一番折磨下来，就只能成为高级打工者了，一辈子也突破不了所谓职业上的玻璃天花板。奥数就是奥林匹克，是走极端的魔鬼式训练，即使是高智商，也绝对是消耗精力和注意力的，让那些本不想成为数学家的孩子，和其家长，迷失了真正的人生目标。

第二类家长，归根结底，也仍然是不知道奥数奖牌的难度和消耗度有多大。面对未来世界，家长们需要知道，孩子们的机会只可能是更大，现在我们就可以看到社会上有各种创业机会，有很多好的想法，还没有人去做，哪怕只做了一小点，就可能带来巨大的成功，将来的社会，机会只可能更大，更多，没必要在奥数一条道上瞎挤。

      大家都怕自己不挤，就“便宜”了别人家的孩子了，而忘了自己孩子的最有价值的优势在哪里，邯郸学步，孩子的未来，没有真正做大、做强。

      家长们不知其理，也可能跟国内的精英教育途径少有关，国家对数学家的需求，是远远小于其他行业的科学家的，数学是基础学科，但是真正想入门很难，绝大多数科学家是把数学当作工具，能够使用得灵活就已经非常不错了，弄那种拿奖级别的奥数完全没有必要，浪费人生，除非是真正想做数学、且本身就具有技巧性天赋的那些孩子们。

     话又要说全，从回答钱学森之问的角度来看，真正具有数学语言为基础的科学创造力的高级别人才，学术界的，与高科技界的领袖级科学家/发明家，展望将来，仍然只能是供不应求，以中国当前的教育状况，去推测未来二三十年，供求差别仍然会极大，不会比今天好太多。很简单，不管你怎么弄奥数，再怎么全民奥数，或者有少部分像我们这样潜心做数学教育，但是，都改变不了一个最根本的事实：

数学很难学！能学进去非常难！

至于更多的普通人，把数学当作宗教，尊敬或敬仰可也，对于他们，永远不可能知道什么是数学的，保持尊敬即可。

附注. 为免读者误会本文观点，只能再强调一遍，不是不学数学，也不是不学具有一定难度的数学，而是怎么个性化选择的问题。

本文可能是目前对于奥数训练方面见解最深入的文章，不像是很多批判奥数的文章，那些作者大多不出身于数学界，可能也没学过多少数学。本文的很多观点，在数学家圈子里面比较有相同的共识，但是数学家不太喜欢面对公众，只好由我来把这些感受进行一些理性的总结。

奥数，有说法是给5%最优秀的学生学的，其实，这个比例还是看的太大了，也许是指5%的学生可以接触接触奥数题，偶尔挑几道做做，尝尝味道。就我自己跟小孩子们的接触来看，真正可以学那种技巧性比较强的奥数的，用了功之后就有可能从中拿奖受益的，估计应该按照千分之一或者万分之五来算，比率是相当低的。

很多家长把普通的数学补习班，当作奥数班，那是概念混淆了。对于绝大多数孩子来说，综合本文的信息，做法可以总结为：

1. 老老实实地读书，读第一遍第二遍的时候，就做一些基本的题，如果有能力，则从第三遍开始再做高级别而又有启发性的难题。

2. 第一二遍的练习题，求准、求快，但不必求难，做题需要考虑到知识的系统性和完备性，但是，第三第四遍做高级别的题的时候，应该让孩子自己选，想做的就做，不想做的，不要因为奥数是个考试，为了求全而受迫去做，这样，才能真正护育和培养孩子感悟数学美的能力。

3. 高级别的题，又可以分为两种，一种就是技巧性强的奥数题（见于各种奥数书），如果孩子本身有技巧性的天赋，可能一两分钟，甚至一两秒就能做出来，这种孩子就比较适合学奥数，对他不是个负担，稍微努努力也有可能拿奖，得到现实的好处。而另外一些孩子，可能对数学也挺感兴趣，但是做题能力并不是太强，可能自己想上一两个小时，也满头雾水，没有头绪，即使后面看答案，或者通过提示，把题目弄会了，然后再做下一道。这样的性价比就并不高，孩子的时间毕竟是有限的，与其如此，不如去做第二种高级别的题目，就是牵扯到数学概念引入的题或数学经典定理，这种题，难度绝不亚于那些奥数题目，但是因为经典，考试不太会考，所以，培训机构和学校都不太教。如果孩子同样是花一两个小时，甚至十几个小时去想清楚一道题的话，那与其是某个奥数题，还不如是这种经典基础题，对孩子思维的影响会更深远一些。当然，对于那些最有天赋的孩子们来说，这两者是可以兼得的，对于普通孩子（其实，愿意学习并能够坚持想一两个小时已经不普通了），就得面临选择了。

       技巧性高的题，如果天赋不够，而是靠花大量的时间去攻克，实际上隐藏下来的负作用会很大，因为很难摸着窍要，花多少心思也往往是枉然，只是背下来很多技巧，反而造成心障。相反，如果下功夫在经典数学题，同样是花大量的时间去攻克，因为更接近数学的本质，所以也就更容易凝结成自己的思想，从而不太有前者那样的负作用。为跟竞赛数学相区别，我们把后者称之为驱动型数学。

 4. 这两种路，又有一个共同之处，就是都要使用探索性的教法。我为什么反对商业性培训机构的教法，迫不得已自己来教自己儿子，顺带着几个其他孩子，就是这个原因。培训机构的教法，都是：例题讲解--习题套模式，大大降低了奥数题的难度，其实也剥夺了孩子自己思考和探索的机会，把很多很好的教学材料，其实是给糟蹋了。当然普通家长如果不追求把孩子培养成高水平科学家的话，这点就不用过于在意，反正能考上好的大学就行，聪明孩子在培训模式下，成绩肯定出得快些，至于笨的孩子，就会在这种教法下，受到本文所述的第一种危险。

幼小阶段数学教育的真功夫 整理版

因为探索精神，在以前的博文中就重点讲述过，所以在本篇文章前面的内容中就没有再多说此点。探索性教学，在美国叫做Moore教学法，Moore在将近百年之前是美国数学会会长，从不少传记可以看出，这个方法已经在美国、俄罗斯等国家实行百年，培养了数代科学家/数学家了，我们国家则一直都还没有上路呢。

我们学习，从表现形式看实际上亦有两种道路，都是可行的，一种是螺旋上升，就像一座山，上山的路一定是螺旋的，或者之字形的，这样好走，爬起来不那么累，适合游客和大部队。另外一种路，则是攀岩，这需要好的老师和好的学生，二者不可或缺。比如说，我们小教室的孩子们，小学三四年级的时候，自己就证出来了等比级数的求和公式，这是高中内容了，很多首师大数学系的本科生恐怕都还证不清楚或干脆就不会证，而我们小教室的孩子，每个孩子都有他自己独特的方法，跟别人不一样。这道题的延展性也很强，譬如有理数为什么既是分数又是循环小数，就需要这个知识。孩子们当初证的时候，就相当于攀岩，能攀的上去，就肯定有收获，肯定比螺旋式上升要快，虽然攀岩在每个点上的速度都是慢的。这种方法，当然也适合于做奥数题，以及基本定理题，如果孩子足够聪明，就拿最难的题给他，就相当于让他攀岩，做一道顶十道百道，把很多知识很多题都能串起来了。如果孩子只是中上聪明，那就稍微降低点难度，就让他爬中等难度的岩就可以了。当然攀岩累了，通过阅读来放松，走走盘山道，两者并不矛盾。

5. 即使是对于天资超常儿童，如果注意力过早放在奥数技巧题目上，过早地丢掉了喜欢重复做简单事情的小孩子性格，对于他们后面做研究来说也是很麻烦的。

超常儿童不需要重复性训练了吗

这样操作下来，才能真正培养出孩子的“数觉”，也就是中小学阶段最重要的任务，从而也就为大学数学学习阶段，注重直觉上弄懂打下标准和习惯。

6. 解题技巧，只是数学能力的一个方面，另外一个同样重要，甚至是更加重要的能力，是读书能力。解题能力强的孩子，并不见得一定是读书能力也强，凡事都要靠经历和训练，世界上的好书不多，真正能把好书读下来的人也很少，往往要反复多遍，揣摩于怀，其难度并不亚于做高级别的奥数题，但因为不牵扯到考试，所以其效益是后至的，而这种效益才往往是学术的主线，所以我们前面讲奥数偏于技巧，即是相对此主线而言，技巧性太多，确实会影响对主线的理解和掌握的，会让孩子们意识不到，大巧不工的境界，才是值得追求的，每一步都看上去挺简单，但是，下棋看五步，连在一起却产生出奇妙的效果，很多真实的科研，其实更接近于这种状态，是将难度分摊到各个细分的步骤之中，要有战略眼光，而不是靠某个奥数那种类型的战术技巧（甚至只是凑巧）。

      光拼奥数，而忽视了读书，眼界就不能开阔，就缺少机会取法于大师。对于天资为普通级优秀的孩子，如果只能二者选取其一，那我们最明智的判断只能是读书，对于天资超常少年，则可以兼取，但如果天资超常的孩子在现实中也只顾着拼奥数，在读书方面的积累为零，那对于未来的成长而言就可能是重大损失了，其原理是：

创造性习惯(幼小阶段)->读书习惯(小高初中)->做题能力->读书能力(大学)->创造性能力（博士生）

选自《符合人才培养规律的小学数学教学》

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“刷题”是什么意思？         奥数教练，可以根据孩子情况，把某些技巧性特别强的题，提交给孩子们思考，但是，如果孩子们没有任何头绪的话，对于那些人为编辑痕迹特别强的题，反正将来在科研中也不会出现，而且即使告诉答案后，其实孩子们也并不能真正消化，只是记下来应付考试。这个时候，其实可以把这样的题略过去，但之所以还是提供给孩子们，是他们能力已经到了，如果碰巧有同学技巧性特别强，把这道题做出来了，则可以趁机讨论一下。