这是这篇文章新加的附注

教研圈：初中数学代数范围的重复性练习的设计与实践

附注C.  有些高智商的学生，表现为不爱进行重复性训练。有些中小学老师也认为，超常儿童不需要进行过多的重复性训练就能把知识掌握，弄多了反而让他们烦（有道理后面再说），这些中小学老师/家长，也往往会助长孩子们的这种风气，尽量往前学，学过的不用重复太多，也符合他们这个阶段的教学利益。

         但就我自己的科研经验来说，数学总会在某个时刻，超越任何一个人类的能力极限，这个时候就需要重复性训练或者说习惯，我在大学阶段将之称为“忆筛”，但是，如果这些高智商学生，已经不喜欢重复性训练了的话，那么他们在大学反而学的不会好。就我在首师大教学实践中也发现，首师大也有较少的高智商学生，不是没有还是有几个的，但是某些高智商的孩子为什么到了大学也学不好呢。

         让我们反观小孩子，绝大多数小孩子，从幼儿园阶段就可以看出，是非常喜欢重复做一件事情的，那么，从什么时候开始，他们讨厌重复训练了呢？一个原因可能是家长，态度上否定孩子的重复，不耐烦的表情之类或直接干扰和阻断的做法，从而让他们下意识地认为这样是错的，另外一个，可能来源于学习，进度太快，缺少重复基础下的深思熟虑。

      重复性训练，就是中国人所说的“熟能成巧”，在学业上，更是会表现为“熟能生慧”。

--------李克正老师批注：关于“初中数学代数范围的重复性练习”  1964 年, 华罗庚先生访问南师附中时与教师们座谈, 问及数学教师对于学生解题的要求, 有老师回答说“熟练”, 华先生说“要烂熟”。

没有重复性的练习当然不可能达到“烂熟”。那么, 为什么“有些高智商的学生，表现为不爱进行重复性训练”? 问题在于文科式的教学。

具体说, 数学中的重复性训练并非将同一个习题反复做, 而是在重复中有提高。至于提高得多快, 是需要“因材施教”的, 所以这方面的“设计与实践”就非常重要了。如同爬坡, 虽然每步都是重复, 但越爬越高, 而且对每个学生要有特定的坡度, 既要能使他爬得上去, 又不能使他“如履平地”。要达到这样的教学水平, 是需要很大的努力的。

如所周知, 现在中学的化学、生物等的教学完全是文科式的, 物理也差不多了。数学只是由于少数数学家的顽强抵抗, 还没有完全文科化。不过前景实在不容乐观, 至少中学数学教科书已经很文科化了; 现在正在搞的数学“素质”评价,也是文科主导的。

例如, 一种教学法是反复做同一个“题型”的训练, 其最高境界是训练到成为条件反射 (尤其是对选择题), 这样

在考试时就可以节约时间。这其实是被中考高考逼出来的。这种把学生当学习机来培训的方式, 学生“讨厌”是很正常的。

其实选择题本身就是文科的考试方法。数学教育是要让学生“懂”数学而不是仅仅“知道”数学 (按时髦的术语为“知道分子”)。仅仅“知道”当然不会用 (哪有实际的数学问题预先给好“选择”的)。无论在理工科哪个专业还是日常生活、通用技术中遇到的数学问题, 都是要靠“懂”数学的人去解决 (一般只是“应用”数学, 谈不上“创新”)。仅“知道”数学的人, 只会到处寻找解决方案, 例如到网上搜 (这种情形现在已很常见, 往往令人哭笑不得)。就这方面而言, 所谓“高分低能”的说法是有意义的。

-----批注结束-------

不过，我的观点，跟李老师还是稍微有细节上的不同。就我们小教室的实践而言，不光是李老师所说的那种高级的重复，就是最低级的那种重复，一道题反复做，我们也认为是有价值的。我们有个每周十分钟测试，如果周六成绩不高，后面每天都要再做一遍，就是原来的题，这种重复，其实就跟背九九表的意义类似，改变孩子们的大脑结构。

        完全大剂量的简单性重复，固然会让学生们建立不起喜欢重复的学习习惯，但完全没有简单性重复，也不行，剂量定在每天10分钟左右，应该是合适的。这是我们的小苗浇水原理，每天一杯水就够，完全没有旱死，或者大水漫灌，都不好。

       当然，这样的题要精选出来，到了初中阶段，就不是随便什么题都让孩子重复的，所以要靠研发，这是当前还不容易找到的教学思路。

        我倒不认为高智商孩子们的重复习惯，责任全在学校的重复性训练，倒很可能是在家长们和教师的态度，就像李老师，对于简单重复的评价也不高，可以想见这方面实践就会少。

       学校和家长，要么是大水漫灌淹死，要么是完全没有旱死，不走中庸之道，这两种情况在当前可能是同时存在的。每天一杯水，坚持不懈，事情虽小，很简单，但真正能做到的家长和教师，很少。

后面的文字，就没有再加到那篇文章中，而是专门在这篇博文中罗列。

-------一个案例----这个孩子在数学上肯定是很有天赋的了---------------------------------------------------

对于儿子觉得喜欢的,比如说进制转换等,他5岁时把所有进制能在极短时间内转换,他练2进制,每天晚上刷牙用手指练,坚持至少3个月,他1000以内了如指掌。他4岁时不懂一点英文,他在准备上幼儿园前的暑假看整整2个月26个英文字母歌,他应该是把YouTube 里所有的歌找出来反复看,他上学第一天他一句英文听不懂,但是老师说他能读教室里墙上,纸上甚至书上的英文。他4岁刚学数学,他加减乘除的视频,他看一遍又一遍,连我们都厌了他不厌。但是弹钢琴,对他一点没有难度,他的听力也特别好,可是叫他重复是不可能的事。他练加法是几页几页地加,除法是除到小数点几十位后的,他玩平方,立方都记住了100以内的.

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所以说，教师们对超常天资的孩子们有理解上的误差，不是这些孩子不喜欢重复，而是这些孩子的重复，往往超过了教师们的视野，本来应该在小学重复，甚至中学重复的训练，这些孩子在上学前就自己做了，而且重复的量远远超过普通水平。这样主动性的重复，当然比被动性重复的效果更好，就可以不必像我先前规定的每天一小杯水，而是他们愿意做多长时间就多长时间了。

孩子们小时候都喜欢重复，重复一些大人觉得很简单的事情，乐此不疲。这对于将来做研究来说，是个很好的习惯，因为做研究就是反复琢磨。  不过我观察到，有些高智商学生，后来丧失了愿意重复的性格，觉得一些简单的事情是boring，这也导致这些学生虽有高智商，但使不出来。

所以，我的一个建议是，怎样配合阅读来巩固他们的能力和习惯。这些超常天资儿童的家长们，都很重视孩子的阅读，孩子们自己也喜欢，小小年纪阅读量就很大。我提了一个建议，觉得对于他们有很重要的参考价值，这里记录下来，以供更多家长们看到、参考。

孩子阅读之后，要让他有一个重复讲述的过程。当然这需要大人的配合，有时间愿意花精力去做才行。重述的过程，也可以借鉴我们关于大学学习中“忆筛”的想法，其实就是，读完了之后，把书合上，靠回忆先找到一些关键词，家长可以在这个过程中帮孩子补充，然后再在这些关键词中挑出几个，扩展成关键句，以达文章之意，小孩子不必强求理解的有多到位，关键在于这个过程和习惯。

光泛读肯定是不行的，这个方法属于精读，对于我们小教室的孩子，我们把它称作拼塔游戏，把这些单词有一个粘贴成页再成册的格式，此处不太好叙述就算了，可以在以后召开讲座时再介绍和拍照，格式属于细节问题，也可以各人有各人的优化的。

高智商孩子做这些事会更容易，关键还是养成这样的习惯，可能对他们是很大的护育。当然，普通孩子也可以从小做这个，这里说到针对高智商孩子，是怕他们没有这个教学环节，反而后面高不成低不就。

另外，对于这几个超常数学天资的儿童，中学课程中最难也是最重要的平面几何，我有相关的建议，如下也记录在这里。

平面几何书，确实AoPS的不算太好，毕竟不是数学家写的。建议孩子们还是看三S平面几何学，是目前我看到的最好的入门书，估计对超常儿童也仍然是如此。看完三S再拿AoPS上的几何题做做，以及，单墫写的平面几何。孩子们读的第一本平面几何书还是应该是比较严谨的，并且竞赛味要淡，习题就是一些简单基础的，所以三S平面几何学为目前所能找到最佳（有英文版）。

平面几何需要有古希腊的哲学思想做基础，这方面就得看孩子的慧根，可以让孩子们试试。可惜的是我们上学期的课程没有教学记录，否则前面那些解释性引导让孩子弄明白了，后面就更容易自己就读下去了。这里有一个最后的教学记录，聊胜于无吧，看看孩子有没有里面那些数学思想了。

3S平面几何讨论课最后一次正式活动教学记录（20170616）

我的意见，读书顺序是：1. 我科学网博客上那篇张亚杰硕士论文，学会算术和代数的初步公理化思想，然后再 2. 平面几何读书，否则孩子们不知道平面几何为什么要那么思考问题。3. 然后再去证明初等数论的因数分解定理，也就是通常大学二年级的抽象代数课程的前面内容。 数学不分年龄，大二的很多学生读不懂，但是小孩子天资到了却爱读，人的天资上的差异是非常大的。

我们小教室的学生虽然都七年级了，但是，数学上的成熟度，还没到自觉地去意识到因数分解定理。所以，教什么要看孩子合适的时机，他喜欢什么就弄什么吧。如果还不喜欢平面几何，那说明还停留在小学算术阶段，就多弄点奥数题也行，或者用张亚杰的论文接引一下，先迈过算术到代数这一关，然后再就好理解平面几何的公理化思路。