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幼小阶段数学教育的真功夫 整理版
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但是，幼小阶段有幼小阶段的理性思维，不是没有，是表现形式跟11岁之后不太一样而已。
最基本的现象是，幼小阶段的理性思维精神，并不是完全通过数学课程表现的，相反，历史课程、地理课程乃至人文课程包含了大量的理性思维的要素，完全是这个阶段的孩子所能理解和吸收的。
数学包含了很多“逻辑”方面的元素，但是孩子最早接触“逻辑”，其实并不是从数学开始，是从“家庭教育规则”开始的。
家庭教育乃至学校教育中体现出来的规则，不就是“逻辑”么，孩子锻炼逻辑推理能力的过程，实际上就蕴含在这些日常生活的实践之中。
幼教规则，不仅仅是让孩子们懂得做人的道理，更是孩子们最早接触到的“逻辑”训练，懂得做事的道理。
如果幼教规则不当，将会打击到孩子的逻辑推理能力的成长，所以，孩子逻辑能力不好，不一定是数学没学好，不一定是数学课程、数学老师出了问题，很可能源于家庭教育规则、学校教育规则方面的负面影响。
这方面的内容，将会放在另外一篇文章“同理心的因和果”中，这里先行略过。
幼小阶段的数学教育，因此不要希望把理性思维训练的内容大包大揽，那些更为深入，更能体现理性思维的数学内容，完全可以等到孩子11岁之后再开始练习。
那么，这方面放手了，幼小阶段数学教育又应该重视什么方面的内容呢，只有“真功夫”、“硬功夫”，才值得教师/家长/孩子们真正投入。
我在晨兴中心数学高手们的环境中熏染过多年，根据自己在数学研究上的跋涉经验和对这些数学高手们的观察，将这种认识往回推，推到幼小教育阶段，认识到幼小阶段数学教育的真功夫，在于：
A1. 对数学的集中注意力，以此基础最终发展成良好的自学习惯。
A2. 对数学的敏感度，即知道哪里不懂的能力，以此基础最终发展成坚韧的探索精神。
说穿了，其实就是“态度建设”，“态度建设”是幼小教育的核心内容，A1和A2则是刻画了“态度建设”在幼小阶段数学教育方面的具体内涵。
数学，恐怕是对集中注意力要求最高的一个学科，另外一个，可能是古典音乐。
为什么说，这个是“硬功夫”呢，因为用这个标准来看，世界上很多成年人，终其一生从未跨进过数学的门槛。
有些数学上早慧的天才，儿童时候最重要的表现，并不在于比别人早学会数数，早学会加减乘除，而是在于他们对数学的集中注意力的量和质，是很多成年人终其一生也未达到的，这还不够“硬”吗。
早慧儿童的家长们，应该考虑到这一点，要想的长远一些，要少做“横向比较”，即少跟同龄孩子去比，多做“纵向比较”，即在纵向的时间尺度上，预估孩子长大之后的各阶段表现，跟人类历史上积累下的经验去比较。
普通家长们，容易理解A1的重要性，但是不易认识到自己孩子的A1-集中注意力，在数学上的难得，对其珍贵属性，没有充分的意识。人生路途上遇到珍宝，狂喜失态自然不对，但是碰巧拿到珍宝，有眼不识，随手一放，最后自己也忘了，想拿的时候找不出来，更是不对。
早慧儿童，对数学产生出超常的集中注意力，原因有很多种，有些可能像黄金，历久不败，有些则可能像流星，一闪而过。
相反，有些孩子虽然发育的晚一些，但只要他们踏入了数学的这个门槛，终生走下去，得到真金，反而比流星式早慧的成就要大得多。
是流星，还是黄金，我在晨兴中心那些环境下见到的数学高手们自然属于后者。
但孩子小的时候，谁又能看出来呢，这方面原因很复杂，有成功的，有失败的。
失手放过孩子流星式的闪光，或者漠视孩子黄金式的执著，只重视知识，只注重“横向比较”，不重视“态度建设”，不重视“纵向比较”，可能是后者的一个重要原因。
相反，家长们如果能实施良善的教育方式，重视“态度建设”，也许能让流星不灭，让黄金不致埋没于土，将孩子对数学的这种集中注意力，一直保存巩固下来。
我们一会儿再谈，如何来做。现在再说 A2-数学敏感度，即知道哪里不懂的能力。
孩子笨，见了题目，说自己不知道，不仅是诚实，这种孩子可教。相反的一些孩子，见了题目，随口说出答案，乱猜乱答，违反A2，缺少了数学敏感度，就很难教他们真正学会一个东西。
这个观念，也是普通家长们容易忽略过去的，他们往往急于给孩子提供答案，结果养成孩子见了题目，就乱凑数的习惯。
其实，不仅是家长们，很多专门做教育培训的商业机构，本质上也是违反了A2-数学敏感度原则，他们在周末举办奥数培训班，采用大容量授课的方式，那么难的题，在我看来，孩子能用一个学期做出来就非常不错了，这样的题却要在3个小时中讲出10道左右。
知识是囫囵吞枣地灌下去了，美其名曰，虽然没学会，但是扩大了知识面，混个脸熟。
幼小阶段的数学教育，不能这么搞，它打掉的是孩子的数学敏感度，当然，注意力在那种授课方式中恐怕也难以长进。
我现在为什么这么关注幼小教育呢，就是自己有了孩子，认识到学校在当今情况下很难提供满意的服务，将来肯定得靠校外培训，可是校外培训机构都是如此商业化操作，孩子是自己的，我只能为了孩子，将自己多年所学，倒推回去，为他们重新设立架构。
确定了A1和A2的原则和重要地位之后，我们再来谈怎么做，其中的教学原则，跟普遍的幼教原则基本一致，这里复述一下：
B1. 孩子是通过模仿来学习的。
B2. 孩子是通过操练来思考的。
B3. 教育要符合孩子的身心成长节奏。
把上面两条中“学习”和“思考”的位置对换，也是对的，自然语言只能达到一定程度的指示性，让人意会到了即可，我们就不咬文嚼字了。
C1. 孩子提出数学问题时怎么办？
C1-a. 我们希望孩子们在“态度建设”上进步，那么我们就要遵循B1-模仿的原则，自己首先做到对数学的那种“求索”态度。
依此之见，孩子有数学问题了，问大人，大人立刻随口答出，就会看不到这个过程。相反，如果孩子问数学问题的时候，大人假装自己也不是很清楚，露出迷惑不解，苦苦思考的眼神，跟孩子对视，就能将孩子对数学未知的注意力，延长那么一会会儿，很多情况下，这么一会会儿的功夫，孩子就自己把答案说出来了。
这种做法，练习的就是孩子的态度，通过大人示范，让孩子模仿的不是知识，而是那种神情和态度。
这样做，使得A1-集中注意力和A2-数学敏感度同时受益，一箭双雕。
所以，我们不要替代孩子们解答问题，不要急于从逻辑理智上去帮他们解决问题，而是以身作则，让他们模仿，模仿我们面对数学难题时，困惑不解、钻研不休的那种神态/心态。
数学上的东西，跟其他教育原理一样，重点不一定在于内容，更在于“心意”，全凭“心意”练功夫。如果不激发起孩子的求知欲，什么样的“辅导性方法”都是白搭的。
C1-b. 家长宽容，不逼孩子，就是不逼他们搞形式主义，搞面子工程。
孩子能学会数学，是本性具足，我们不会试图去教一个大猩猩学数学。孩子若挂心于数学，注意力集中，完全有可能靠天性突破，家长横加干涉，反而有可能打乱了孩子的自然节奏。
教师和家长们甚至可以为此降低数学内容的难度，不要过难，难得大学生都想不出来（很多小学奥数题目是这样的），那对孩子当然不好了。
只要孩子愿意做简单的题，只要他不厌，就让他继续做，而不是马上跳到更难的题目阶段，急于求成的家长实际上是在打扰孩子而不自知，怎么可能在这种情况下保持住对数学的集中注意力和敏感度呢。
对于稍微难一些的题目，当孩子在数学上表现出“笨”的时候，我们最重要的不是给他们答案或解法。家长们最简单、最基本的做法是，承认这种“笨”，容忍这种“笨”，就是承认数学上有未知的东西。急于让孩子知道答案，急于让孩子变聪明，反而有可能降低了孩子在数学上的敏感度。
数学能力，最重要的是发现“未知”，发现自己不会的地方在哪里的能力，一道难题，完全有必要翻来覆去的重复，不断地深入发现自己不会的地方真正在哪里。
C1-c. 如果遇见聪明老师，那就更好了。聪明老师的一个重要教法是，帮助孩子们发现他不知道的“地方”，具体在哪里，如有可能，把它分解为数个小问题。
如果幸遇天才学生，他们自己就能把不会的地方找出来，分解出来，学生有了如此高的敏感度，老师才能往深里教啊。
这种教学方法，怎么指点，就得靠专业知识水平，而不是所谓的教学教法。
C2. 正确对待心算能力，它既是重要的，同时又应该注意培养方式中的互动过程。
心算能力是重要的，倘若心算不好，什么东西都要算半天，就不可能把精神放在真正的推理上，小孩子性子急啊。一般来说，小孩子在11岁才开始对数学推理有敏感性，数学推理中还是需要大量的算功，之前没有把算功练过去，一个简单的消去法都做得累，还怎么谈后面的推理和理性思维呢。
数学家传记也充分证明了“心算”的重要性，当然也有些特例，但我估计，那些特例之人，当属性子特别平稳扎实，从而仍符合A1-集中注意力原理，又靠天性，在A2-数学敏感度上有卓越的能力。
相比于以前的时代，现在的公立学校和商业培训机构都很难真正花心思在心算训练上面。
公立学校的老师费不起那个时间，哪敢推动孩子们天天练一遍百题计算。商业培训学校呢，这种东西又太简单，这么简单的东西，怎么好卖出价钱呢，奇技淫巧才能有价码。
普通家长们若是能知其理，就不会花钱让孩子走上歧途了，我以前博文中，曾讲述过自己的研究生在北京某教育培训学校（刚在美国Nasdaq上市）任教的经历，我根本不相信那种方法能让孩子们学懂数学，实在不行，还是家长们自己来吧。
所以，学数学应该从心算开始，但是奇技淫巧般的各种速算法和珠心算则不必了，因为实用价值不高，而且容易跟A2-数学敏感度矛盾，很多速算法的原理，孩子未必能真懂。这里，推荐阴山英男的方法：百格计算，相当于中国传统的九九乘法表的变形。
一些“新式”数学教育手法，侧重于对算术的理性解释，甚至因此否定心算的重要性。
一些现代心理学实验已经发现，算术的基本概念，被证明天然地存在于孩子的头脑里，至于抽象化的思维方式，也在不少敏感的孩子身上自发地表露。
我们之所以能教会孩子数学，是因为他们天性具足，我们不会试图去教一个猩猩学数学的。
因此，所谓的理性解释，老师所需要做的，最多只不过是把孩子们天生的算术认知习得，对应于公认的数学表达符号而已。
我孩子，自己就知道1和1是2，我所要教他的只是，将“和”换成“+”，“是”换成“=”而已，符号对应而已，并不需要过多的理性解释，或者说理性解释到这个程度就行了，不用上升到所谓哲学的层次。
幼小阶段的数学更像是智力体操，不需要太多的哲学化的理解，搞太多的花样，反而有可能适得其反。
新式教育方法，注重孩子弄懂数学，这当然没什么错，但是道理弄通之后，传统的心算练习，比如数数和背九九表，仍然是必须的，孩子需要大量的操练，只懂道理，不进行操练，就无法巩固孩子继续进步的基础。
新式教育法，不能以己之是，批传统之非。
我们说过，弄懂数学，其实就是让孩子们把人类世界通用的数学符号，跟他们天性中的数学概念，一一对应而已，我们那一代的教育，讲究数学的“双基训练”，将这个程序称之为“弄懂题意”，简单不玄乎。
这方面可以举一些案例，前面的1和1是2，是最简单的，很多案例中，可以使用一些自然的器具，石子，枣核，乃至于自己的手指头。
不管是使用石子，还是使用手指头，背后都蕴含着孩子天生的“推理”能力，通过石子、手指头外化出来而已，大人之所以能够很快地算数，只不过是把这种推理能力，变成公知常识，记下来而已。
等孩子经过大量练习，对这些“推理”非常熟悉之后，他们也会乐于将其变成“公知常识”记下来，那时候自然也就算得快了。
所以，心算训练，要遵循刚才说过的原则，不要求急、求全，不必要强求孩子一下子把九九表全背下来，反而丧失了孩子探索求知，通过操练来思考的机会。
一个孩子，很早就把九九表背诵如流，另一个孩子有点笨，通过大量的玩沙子、玩石子、玩树叶，才把算术学会，最终上学的时候，也能把九九表倒背如流。
试问，这两个孩子，在数学上哪个更有前途，历史经验恐怕会告诉我们是后者。其中的道理有两条：
数学在讲究智力体操的一面时，另一面也非常值得注意，即，“创意”。一个孩子的自发心算游戏，其实就可以体现出他们的创意，比如他们会问、会思考：
两个2是多少，两个3是多少。。。两个8是多少，天啊，这不就是乘法吗。
6=3+3=2+4=...=1+2+3=...，要把所有可能的算式都写出来，这不就是数学上著名的Partition（分拆数）问题吗。
家长们要舍得时间，让孩子们在这些创意上，进行练习，普通家长们很可能觉得孩子怎么老做这个简单的事啊，急匆匆地求难度，求全面，其实源于他们自己对数学学问所知甚浅，欣赏力反而不如孩子的直觉反应。
具体的案例，这里就不多说了（博文版里还有几个），其实原理弄懂了，很多案例都非常简单，毕竟是小学数学吗。
这里总结一下，幼小阶段的数学学习，既要注重操练，又要注重创意，二者如果能够结合起来是最好的，很多幼小阶段的数学创意，完全可以从孩子的直觉反应来找，也可以从数学发展的历史中来找。
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