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当代中学生为什么还要学平面几何?

已有 1135 次阅读 2018-12-4 20:13 |个人分类:Book-W|系统分类:观点评述

当代中学生为什么还要学平面几何?

王永晖


我对有些具体的教学情况,还不够熟悉,望中学老师告知和补充。


平面几何课程,在教材中有越来越弱化的倾向,尤其是欧几里得《几何原本》中那种公理化的部分,但是,如果弱化了公理化的那部分,平面几何课程也就失去了光彩,以及存在的意义。


平面几何,是国际IMO奥数竞赛的必考一部分,因为现在高考自主招生会加重竞赛数学的成份,所以这是一个现实的考虑,也就是说,虽然现在教材比较弱,但是很多孩子课下练的几何题,并不见得比我们当年容易,因为都是要往奥数级别冲的。但即使如此,据说这几年中国奥数队的几何题比较容易丢分,有行业人士认为,跟现在学校弱化几何课程有关,孰是孰非,不在本文考虑范围之内,因为,本文着重想讨论的,不是这种考试上的理由,不是表面上的理由,而期待的是挖掘出更加内在的原因。


首先,我们从数学角度来看,平面几何课程,作为内容来讲,确实比较古旧,在内容本身来说,确实不具有延展性,基本上大学数学是不太用那些知识的。


那么,从这个角度来说,我们可以不用学平面几何,或者说,不用花那么大功夫么,是不是可以弱化它。


对于致力于把数学学懂的孩子来说,也就是说,那些未来数学与科学领域的博士生群体,恐怕平面几何(的读书活动)是一个不能绕过去的槛。


虽然不像代数课程,代数课程具有相当大的延展性,代数知识和技巧,在大学课程中是处处要用到的。但是,平面几何课程,从课程结构上来说,教材书写格式来说,是中学所有课程中,最接近大学教材的特点,定理推定理,不断推下去。


这是中学数学其他课程,包括代数课程,所远远不能够达到的。


教材书写格式,请参考这里,有下载链接,很优秀的初中数学读本 电子版下载 三S平面几何学 刘尼的代数系列


当然,很多家长,如果上的不是大学数学系,而是其他理工科院系,学的就是些简化版数学,就不太容易理解我上述所说。也就是说,很多中国成年人,虽然是大学学历,甚至硕士,其数学思维水平仍然停滞在中学阶段。原因就在于,甚至很多理工科大学生的数学教材,也难以达到《几何原本》的这种理智水平,虽然其已经被下放到初中,作为平面几何课程。


教育部推行教改,其思路是要面对更多的普及教育,孩子学不懂怎么办,普及教育的思路就是,那就简化、弱化教材,把那些有可能学不懂的定理藏起来,这样就行了,很有效是吧(美国很多年前已经开始这么做了)。


可是对于那些未来的博士生们,则有必要从小开始,就让他们把数学学懂,这不仅仅是为了培养数学家,我们理工科的科学家们,也一样需要。倘若缺少这种最基本的数学态度和数学语言方式,理工科学者们也一样难成为该领域的大师级科学家。


这是肯定的!


其中的数学教育上的想法,我会揉进下一段。我们世界上的各个行业,不是都需要数学的,有些是跟数学特别接近,如物理学,计算机科学。而有些则跟数学相对较远,若干年前,化学,生物学的学者们,还都不需要懂太多的数学,现在则是需要的越来越多。


经济学,在上世纪五六十年代发生一场学术革命,新的一代年青学者写的经济学论文,竟然老一代的知名学者无法看懂,原因是用了更多的稍微高深点的数学。这种状况,在未来有可能发生在政治学领域,因为网络虚拟社区的存在,使其研究更易于得到实证与建模。


排除掉这些领域之后,我们这个世界上的其他领域,那些领域的精英们,确实有可能不需要用到太多的数学知识,那么他们在年轻求学的时候,是不是就不用学平面几何这门课程了呢?


其实,精英之所以成为精英,不在于他们中学阶段的课程知识是否偏科,而在于他们成年之后的本人意愿。


国外的精英教育,比较讲究通识教育。这篇文章很好,   

       教育要践行| 徐贲:智识教育是“授人以渔”——我所亲历的美国人文教育

       徐卉是《阅读经典 美国大学的人文教育》的作者,长期在美国的文理学院任教。这本书谈到了《几何原本》在他的课堂上的讨论和教学。我专门买来看了一下,感觉在那一节,他的认识还不算到位,如果有认识他的朋友,可以转发本文给他,毕竟不是数学专业,可以理解。


这篇文章,不是写给专家看的,所以我有必要介绍一些对于专家们来说,是熟知的常识,但是,普通人群因为缺少科学史的,以及哲学的了解,所以尚还不知道的。


欧几里得《几何原本》的地位,不仅仅是在数学上的,也是在科学上的,我们之所以走上今天的这种科学发展之路,其最重要的原因,甚至可以不用说之一,就在于我们人类中有一个族群,产生出这本书,后面的科学的发展,思维上的递进,都有赖于这本书的开端。


那么,这本书的核心价值,珍宝之处在哪里呢?就是它的公理论的方法,其中一些历史的讨论,大家请参考这本非常优秀的数学科普书。

《天才引导的历程》

大家可能会知道Tesla的创始人马斯克,他强调的商业思维方式“第一性原理”,其实就是数学上的公理化思想。


物理学发展史上,牛顿揭开了现代科学的开幕式,其思路,也就是这个公理化思想,确定了那几大基本定律。我们人类为什么会有这种思维方式,还是要感谢希腊哲学家们的贡献,正是他们贡献的结晶落实在三角形啊,直线啊,圆啊,这些特别简单的几何体上,形成的学问,才有后继的人类文明。


所以,我们要向他们学习,向他们致敬的最好方式,就是把这些东西过一遍。


那么过一遍又有什么好处呢?如果一个孩子,他将来会成为某个行业的精英,但是,并不是要成为跟数学相关度特别大的那些行业,他还有必要学么?


我们来看一个前人的例子,美国总统林肯,这是大家都知道的了。但可能普通家长不知道的是,林肯在年青当律师的时候,旅途中经常带着《几何原本》这本书,住店的时候看看,这是一种思维上的训练。


我记得大学本科的时候,当时各个院系,数学分数最好的,除了数学系外,还有一个系的学生特别突出,大家可能会很惊讶,那个系是法律系。当然,法律系的招生情况比较好,学生本来就学的好,可能是原因之一。


治国安天下,可能统治者不需要知道具体的数学知识,公式,但是却需要足够份量和深度的数学思维。


通识教育的目的,不是培养专家,但确实是专属于统治阶层/领袖阶层的,他们需要这样一种能力,即使不是该行业的专家,但是他们仍然有能力判断出,该行业的哪些个专家是骗子/虚名,还是真知,哪些个学术研究是可以相信的,从而可以赋予资源上的投入与执行。


即使不属于狭义上的统治阶层/领袖阶层,对于一个自由社会的公民来讲,通识教育赋予了他们爱管闲事的学术能力,而不是瞎起哄而已。所以说,并不是每个国家类型,都需要或者说真正喜爱通识教育的。


无疑,平面几何课程,将其当作通识教育的必要一环,那么不管对于任何行业来说,只要是希望成为各行业的精英领袖群体的,在其学生时代,最好还是了解这种现代文明的基本思维方式,最好是能融进去。


那么,《几何原本》又是什么思维方式呢?为什么,连政治家都需要这种思维方式呢?


我们数学界将其称为公理化的思维方式,即由公理定理⇒更多定理⇒更多习题。我们去年的教学实践中,孩子们已经能很好地领会这种方式

3S平面几何讨论课最后一次正式活动教学记录(20170616)

即,我们知道,数学都是已知推未知的,而已知呢,又被更基础的已知来推出,在这个推出的过程中,不允许有循环论证,这就跟计算机编程一样,是不允许出现死循环的。


那么,这样不断追根溯源上去,总得有个头吧,必须把那些最基础的已知,当做公理,即不证自明的。


这种想法,听着挺简单的,但实现起来是非常消耗时间和哲学家/数学家群体才华的,详情请参考那本数学科普书。数学思想其实就是这样,我们几句话就能跟你说完,但这几句话的精神,是不是能练到自己身上,是不是能融入自己的血脉,却是需要真实的练习,需要下足够的功夫。


要不然,林肯当小说看,几天就能把《几何原本》看完,而不需要日日揣摩了。


孩子们也是这样,道理逐渐都懂,但是要变成自己的一种下意识的思维方式,还是通过平面几何这门课程,经过一个定理又一个定理的反复演练和推导,真正把这些东西练到家,练成自己的思维习惯。


我们现在看书的时候,知道书上是把那几个公理,当做最初的起点,但是遥想当年,就像天上的星星一样,数学的公式可以很多很多,但是,我们把哪些东西当作公理呢?


首先,公理应该越少越好。其次,作为公理,不能违背现实,即现实中不能找出反例,当然,这种现实,其实也是理想化的,说穿了,其实就是公理跟公理之间不能打架,不能有矛盾之处。


再者,作为公理,应该是那些看上去比较显然的,直觉上就觉得是对的。但是,这里就有玄奥之处,就是有些看上去是显然的认知,在《几何原本》中,并不选作公理。


譬如,等腰三角形的两个底角相等,及其逆定理,非常显然,但是,这是定理,是可以被更基础的已知所推导出来的,所以,不选做公理。


再譬如,两个三角形,三边都对应相等,则这两个三角形全等。普通人看上去也是显然的,但是作为哲学家来说,会去思考,四边形的时候,四边都对应相等,明显无法推出这两个四边形都全等(想想汽车上的雨刷吧),那怎么能说明三角形时,这个就一定是对的呢?


现在中学数学教学改革,恰恰是把《平面几何》课程中这种最精华的部分,给删去了,不能说这种教改是没有合理之处的,但是,从培养未来博士生的角度,从培养未来各行业精英的角度来讲,我们中华民族不能再缺这个了。


林肯作为一个政治家,他为什么要读《几何原本》呢?仅仅是一种个人爱好么?


这是因为,西方政治学,乃至人文科学,也承继了希腊哲学的脉络,即这种公理化的思考方式。它们也会采用推理的思考方式,既然是推理的思考方式,已知⇒未知那么最源头的已知是什么呢?


其思路,就跟《几何原本》非常相像,所以,徐卉老师就必须把《几何原本》作为他的人文教育/通识教育中的一节。

        美国《独立宣言》「我们认为下面这些真理是不言而喻的:人人生而平等,造物主赋予他们若干不可转让的权利,其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。」

        徐卉老师在他的书中继续说到「自由、平等、追求幸福的观念都是共同设定的价值,它们的真理性无法用经验来证明。事实上,经验反倒更容易证明它们的非真理性。」


我不太清楚徐卉老师这句话,在社会科学的学术界是否是共识。不过如果换做数学学科的话,如果一条认知,被经验可以证伪,即存在某个反例,在此反例中此认知是错误的,那么,这个认知是绝对不可以被当做公理的,连定理也不能,跟数学最近的物理学虽然一直无法完成其公理化体系,但其思路也是跟数学一样。

        也许,社会科学跟自然科学不同,但也许,是社会科学可以有更多的理解角度,譬如说,生而平等,是指的一种精神态度,即使贵如总统,在精神价值上,也等同于凡夫俗子,绝不应该发生,总统为了某个私利,或者仅仅为了耀武扬威,就可以贬损某个乞丐的事情发生。

        如果从这个角度来看,这种生而平等的精神,并不能说在经验中可以证明它的非真理性。就像做数学题一样,你把它做错了,不能说明这道数学题本身就是错的。

      

我经常对小教室的孩子们讲,数学上的天赋,对应的是生活中的良知,天赋与良知,实际上是一枚硬币的正反两面。这些良知中,提取哪些作为公理,哪些是可以被推出的定理,也许是个很深奥的问题,需要一代又一代的探索。


古希腊哲学,给我们开启了学者之路,而这条貌似象牙塔的抽象思考之路,却让我们这些凡夫俗子们,意外地享受到了今天的现代文明。

小教室的孩子们,在刚开始学《平面几何》的时候,问了一个很好的问题,“老师啊,我们在小学都学了几何了,三角形的面积,平行四边形的面积,周长,我们都会算了,我们还要学什么呢?”


数学的思维方式是,追求最极端的严谨性,这个世界上大多数人类,不会有这种内心需求,但是,会有那么极少的一类人群,要弄弄这个,日思夜想。


可是,这个世界上的很多东西,是说不清楚的,很难非常严谨,譬如,即使到今天,经济学已经发展的很好了,但是,恐怕仍然不能达到严谨性的要求,更别说心理学。


最接近数学严谨性的,是物理,所以很多数学大家都一致认为,物理很重要!物理,给数学提供了活水和思路的源泉。


那么,在古希腊的时候,有这么一帮人,号称是哲学家,追求极端的严谨性,为了满足这种严谨的需要,他们能怎么做呢?


他们只能收缩他们的战线,不去考虑治国平天下,因为那里面的道理很难说清楚,很难满足极端严谨性。为了这一精神目标,他们收缩了自己的考虑范围,收缩到哪里了呢?


三角形,直线,圆,就弄这些玩意儿,结果在这里面弄出了学问,这么简单的东西里面,能弄出那么多定理,就像天上的星星一样,繁星闪烁,最可怕的是,这么多的星星,星光都源自那五颗星星,五大几何学公设!


太可怕了!这就是思维的力量!弄清楚这件事情的数代古希腊哲学家们,该有多伟大!


我们孩子接触平面几何,就是感受这些星光,得到这些传承,即使它来自古希腊,但也是我们人类所共有的,是我们现代中华民族所需要吸收的!


作为孩子们,大的弄不了,缺少那些需要逐级建设的基础知识,那么在初中阶段,在基础知识还不是那么丰富的阶段,玩玩三角形,圆,这些最简单的几何图形中所蕴含的人类思想精髓,没什么不好的,甚至可以说是精英教育的必须一环,在初中阶段,就可以开始如大学数学系学生那样去思考与读书。


这一教学环节在一个精英教育体系中的重要性,正如《几何原本》在人类文明史中的地位一样。



附注.  政治学专业学者的反馈 「嗯,实际上在美国,行为主义革命后,政治学的主流是数理模型一统天下,现在一流大学政治系博士生一年级一般都花非常多的时间,甚至是主要的时间来学统计和数据处理。」




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