当代中学生为什么还要学平面几何？

王永晖

我对有些具体的教学情况，还不够熟悉，望中学老师告知和补充。

平面几何课程，在教材中有越来越弱化的倾向，尤其是欧几里得《几何原本》中那种公理化的部分，但是，如果弱化了公理化的那部分，平面几何课程也就失去了光彩，以及存在的意义。

平面几何，是国际IMO奥数竞赛的必考一部分，因为现在高考自主招生会加重竞赛数学的成份，所以这是一个现实的考虑，也就是说，虽然现在教材比较弱，但是很多孩子课下练的几何题，并不见得比我们当年容易，因为都是要往奥数级别冲的。但即使如此，据说这几年中国奥数队的几何题比较容易丢分，有行业人士认为，跟现在学校弱化几何课程有关，孰是孰非，不在本文考虑范围之内，因为，本文着重想讨论的，不是这种考试上的理由，不是表面上的理由，而期待的是挖掘出更加内在的原因。

首先，我们从数学角度来看，平面几何课程，作为内容来讲，确实比较古旧，在内容本身来说，确实不具有延展性，基本上大学数学是不太用那些知识的。

那么，从这个角度来说，我们可以不用学平面几何，或者说，不用花那么大功夫么，是不是可以弱化它。

对于致力于把数学学懂的孩子来说，也就是说，那些未来数学与科学领域的博士生群体，恐怕平面几何（的读书活动）是一个不能绕过去的槛。

虽然不像代数课程，代数课程具有相当大的延展性，代数知识和技巧，在大学课程中是处处要用到的。但是，平面几何课程，从课程结构上来说，教材书写格式来说，是中学所有课程中，最接近大学教材的特点，定理推定理，不断推下去。

这是中学数学其他课程，包括代数课程，所远远不能够达到的。

教材书写格式，请参考这里，有下载链接，很优秀的初中数学读本 电子版下载 三S平面几何学 刘尼的代数系列。

当然，很多家长，如果上的不是大学数学系，而是其他理工科院系，学的就是些简化版数学，就不太容易理解我上述所说。也就是说，很多中国成年人，虽然是大学学历，甚至硕士，其数学思维水平仍然停滞在中学阶段。原因就在于，甚至很多理工科大学生的数学教材，也难以达到《几何原本》的这种理智水平，虽然其已经被下放到初中，作为平面几何课程。

教育部推行教改，其思路是要面对更多的普及教育，孩子学不懂怎么办，普及教育的思路就是，那就简化、弱化教材，把那些有可能学不懂的定理藏起来，这样就行了，很有效是吧（美国很多年前已经开始这么做了）。

可是对于那些未来的博士生们，则有必要从小开始，就让他们把数学学懂，这不仅仅是为了培养数学家，理工科的科学家们，也一样需要。倘若缺少这种最基本的数学态度和数学语言方式，理工科学者们也一样难成为该领域的大师级科学家。

这是肯定的！

其中的数学教育上的想法，我会揉进下一段。我们世界上的各个行业，不是都需要数学的，有些是跟数学特别接近，如物理学，计算机科学。而有些则跟数学相对较远，若干年前，化学，生物学的学者们，还都不需要懂太多的数学，现在则是需要的越来越多。

经济学，在上世纪五六十年代发生一场学术革命，新的一代年青学者写的经济学论文，竟然老一代的知名学者无法看懂，原因是用了更多的稍微高深点的数学。这种状况，在未来有可能发生在政治学领域，因为网络虚拟社区的存在，使其研究更易于得到实证与建模。

排除掉这些领域之后，我们这个世界上的其他领域，那些领域的精英们，确实有可能不需要用到太多的数学知识，那么他们在年轻求学的时候，是不是就不用学平面几何这门课程了呢？

其实，精英之所以成为精英，不在于他们中学阶段的课程知识是否偏科，而在于他们成年之后的本人意愿。

国外的精英教育，比较讲究通识教育。这篇文章很好，   

       教育要践行| 徐贲：智识教育是“授人以渔”——我所亲历的美国人文教育

       徐卉是《阅读经典 美国大学的人文教育》的作者，长期在美国的文理学院任教。这本书谈到了《几何原本》在他的课堂上的讨论和教学。我专门买来看了一下，感觉在那一节，他的认识还不算到位，如果有认识他的朋友，可以转发本文给他，毕竟不是数学专业，可以理解。

这篇文章，不是写给专家看的，所以我有必要介绍一些对于专家们来说，是熟知的常识，但是，普通人群因为缺少科学史的，以及哲学的了解，所以尚还不知道的。

欧几里得《几何原本》的地位，不仅仅是在数学上的，也是在科学上的，我们之所以走上今天的这种科学发展之路，其最重要的原因，甚至可以不用说之一，就在于我们人类中有一个族群，产生出这本书，后面的科学的发展，思维上的递进，都有赖于这本书的开端。

那么，这本书的核心价值，珍宝之处在哪里呢？就是它的公理论的方法，其中一些历史的讨论，大家请参考这本非常优秀的数学科普书。

《天才引导的历程》

大家可能会知道Tesla的创始人马斯克，他强调的商业思维方式“第一性原理”，其实就是数学上的公理化思想。

物理学发展史上，牛顿揭开了现代科学的开幕式，其思路，也就是这个公理化思想，确定了那几大基本定律。我们人类为什么会有这种思维方式，还是要感谢希腊哲学家们的贡献，正是他们贡献的结晶落实在三角形啊，直线啊，圆啊，这些特别简单的几何体上，形成的学问，才有后继的人类文明。

所以，我们要向他们学习，向他们致敬的最好方式，就是把这些东西过一遍。

那么过一遍又有什么好处呢？如果一个孩子，他将来会成为某个行业的精英，但是，并不是要成为跟数学相关度特别大的那些行业，他还有必要学么？

我们来看一个前人的例子，美国总统林肯，这是大家都知道的了。但可能普通家长不知道的是，林肯在年青当律师的时候，旅途中经常带着《几何原本》这本书，住店的时候看看，这是一种思维上的训练。

我记得大学本科的时候，当时各个院系，数学分数最好的，除了数学系外，还有一个系的学生特别突出，大家可能会很惊讶，那个系是法律系。当然，法律系的招生情况比较好，学生本来就学的好，可能是原因之一。

治国安天下，可能统治者不需要知道具体的数学知识，公式，但是却需要足够份量和深度的数学思维。

通识教育的目的，不是培养专家，但确实是专属于统治阶层/领袖阶层的，他们需要这样一种能力，即使不是该行业的专家，但是他们仍然有能力判断出，该行业的哪些个专家是骗子/虚名，还是真知，哪些个学术研究是可以相信的，从而可以赋予资源上的投入与执行。

即使不属于狭义上的统治阶层/领袖阶层，对于一个自由社会的公民来讲，通识教育赋予了他们爱管闲事的学术能力，而不是瞎起哄而已。所以说，并不是每个国家类型，都需要或者说真正喜爱通识教育的。

无疑，平面几何课程，将其当作通识教育的必要一环，那么不管对于任何行业来说，只要是希望成为各行业的精英领袖群体的，在其学生时代，最好还是了解这种现代文明的基本思维方式，最好是能融进去。

那么，《几何原本》又是什么思维方式呢？为什么，连政治家都需要这种思维方式呢？

我们数学界将其称为公理化的思维方式，即由公理⇒定理⇒更多定理⇒更多习题。我们去年的教学实践中，孩子们已经能很好地领会这种方式

3S平面几何讨论课最后一次正式活动教学记录（20170616）

即，我们知道，数学都是已知推未知的，而已知呢，又被更基础的已知来推出，在这个推出的过程中，不允许有循环论证，这就跟计算机编程一样，是不允许出现死循环的。

那么，这样不断追根溯源上去，总得有个头吧，必须把那些最基础的已知，当做公理，即不证自明的。

这种想法，听着挺简单的，但实现起来是非常消耗时间和哲学家/数学家群体才华的，详情请参考那本数学科普书。数学思想其实就是这样，我们几句话就能跟你说完，但这几句话的精神，是不是能练到自己身上，是不是能融入自己的血脉，却是需要真实的练习，需要下足够的功夫。

要不然，林肯当小说看，几天就能把《几何原本》看完，而不需要日日揣摩了。

孩子们也是这样，道理逐渐都懂，但是要变成自己的一种下意识的思维方式，还是通过平面几何这门课程，经过一个定理又一个定理的反复演练和推导，真正把这些东西练到家，练成自己的思维习惯。

我们现在看书的时候，知道书上是把那几个公理，当做最初的起点，但是遥想当年，就像天上的星星一样，数学的公式可以很多很多，但是，我们把哪些东西当作公理呢？

首先，公理应该越少越好。其次，作为公理，不能违背现实，即现实中不能找出反例，当然，这种现实，其实也是理想化的，说穿了，其实就是公理跟公理之间不能打架，不能有矛盾之处。

再者，作为公理，应该是那些看上去比较显然的，直觉上就觉得是对的。但是，这里就有玄奥之处，就是有些看上去是显然的认知，在《几何原本》中，并不选作公理。

譬如，等腰三角形的两个底角相等，及其逆定理，非常显然，但是，这是定理，是可以被更基础的已知所推导出来的，所以，不选做公理。

再譬如，两个三角形，三边都对应相等，则这两个三角形全等。普通人看上去也是显然的，但是作为哲学家来说，会去思考，四边形的时候，四边都对应相等，明显无法推出这两个四边形都全等（想想汽车上的雨刷吧），那怎么能说明三角形时，这个就一定是对的呢？

现在中学数学教学改革，恰恰是把《平面几何》课程中这种最精华的部分，给删去了，不能说这种教改是没有合理之处的，但是，从培养未来博士生的角度，从培养未来各行业精英的角度来讲，我们中华民族不能再缺这个了。

林肯作为一个政治家，他为什么要读《几何原本》呢？仅仅是一种个人爱好么？

这是因为，西方政治学，乃至人文科学，也承继了希腊哲学的脉络，即这种公理化的思考方式。它们也会采用推理的思考方式，既然是推理的思考方式，已知⇒未知，那么最源头的已知是什么呢？

其思路，就跟《几何原本》非常相像，所以，徐卉老师就必须把《几何原本》作为他的人文教育/通识教育中的一节。

        美国《独立宣言》「我们认为下面这些真理是不言而喻的:人人生而平等,造物主赋予他们若干不可转让的权利,其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。」

        徐卉老师在他的书中继续说到「自由、平等、追求幸福的观念都是共同设定的价值，它们的真理性无法用经验来证明。事实上，经验反倒更容易证明它们的非真理性。」

我不太清楚徐卉老师这句话，在社会科学的学术界是否是共识。不过如果换做数学学科的话，如果一条认知，被经验可以证伪，即存在某个反例，在此反例中此认知是错误的，那么，这个认知是绝对不可以被当做公理的，连定理也不能，跟数学最近的物理学虽然一直无法完成其公理化体系，但其思路也是跟数学一样。

        也许，社会科学跟自然科学不同，但也许，是社会科学可以有更多的理解角度，譬如说，生而平等，是指的一种精神态度，即使贵如总统，在精神价值上，也等同于凡夫俗子，绝不应该发生，总统为了某个私利，或者仅仅为了耀武扬威，就可以贬损某个乞丐的事情发生。

        如果从这个角度来看，这种生而平等的精神，并不能说在经验中可以证明它的非真理性。就像做数学题一样，你把它做错了，不能说明这道数学题本身就是错的。

我经常对小教室的孩子们讲，数学上的天赋，对应的是生活中的良知，天赋与良知，实际上是一枚硬币的正反两面。这些良知中，提取哪些作为公理，哪些是可以被推出的定理，也许是个很深奥的问题，需要一代又一代的探索。

古希腊哲学，给我们开启了学者之路，而这条貌似象牙塔的抽象思考之路，却让我们这些凡夫俗子们，意外地享受到了今天的现代文明。

小教室的孩子们，在刚开始学《平面几何》的时候，问了一个很好的问题，“老师啊，我们在小学都学了几何了，三角形的面积，平行四边形的面积，周长，我们都会算了，我们还要学什么呢？”

数学的思维方式是，追求最极端的严谨性，这个世界上大多数人类，不会有这种内心需求，但是，会有那么极少的一类人群，要弄弄这个，日思夜想。

可是，这个世界上的很多东西，是说不清楚的，很难非常严谨，譬如，即使到今天，经济学已经发展的很好了，但是，恐怕仍然不能达到严谨性的要求，更别说心理学。

最接近数学严谨性的，是物理，所以很多数学大家都一致认为，物理很重要！物理，给数学提供了活水和思路的源泉。

那么，在古希腊的时候，有这么一帮人，号称是哲学家，追求极端的严谨性，为了满足这种严谨的需要，他们能怎么做呢？

他们只能收缩他们的战线，不去考虑治国平天下，因为那里面的道理很难说清楚，很难满足极端严谨性。为了这一精神目标，他们收缩了自己的考虑范围，收缩到哪里了呢？

三角形，直线，圆，就弄这些玩意儿，结果在这里面弄出了学问，这么简单的东西里面，能弄出那么多定理，就像天上的星星一样，繁星闪烁，最可怕的是，这么多的星星，星光都源自那五颗星星，五大几何学公设！

太可怕了！这就是思维的力量！弄清楚这件事情的数代古希腊哲学家们，该有多伟大！

我们孩子接触平面几何，就是感受这些星光，得到这些传承，即使它来自古希腊，但也是我们人类所共有的，是我们现代中华民族所需要吸收的！

作为孩子们，大的弄不了，缺少那些需要逐级建设的基础知识，那么在初中阶段，在基础知识还不是那么丰富的阶段，玩玩三角形，圆，这些最简单的几何图形中所蕴含的人类思想精髓，没什么不好的，甚至可以说是精英教育的必须一环，在初中阶段，就可以开始如大学数学系学生那样去思考与读书。

这一教学环节在一个精英教育体系中的重要性，正如《几何原本》在人类文明史中的地位一样。

附注.  政治学专业学者的反馈 「嗯，实际上在美国，行为主义革命后，政治学的主流是数理模型一统天下，现在一流大学政治系博士生一年级一般都花非常多的时间，甚至是主要的时间来学统计和数据处理。」