小学奥数不是真正的奥数

王永晖

有两个观点，可能还有很多普通的家长并不知道。有些老师知道是知道，但也不愿意面对公众多说，我这里稍微科普一下：

一、小学奥数还不是真正的奥数，即IMO奥数竞赛题目，可以百度百科“国际奥林匹克数学竞赛”；

二、IMO奥数，也还不是真正的数学。

现在社会上有很多种说法，我一个一个稍微解释一下。首先是“全民奥数”，其实主要指的是“小学奥数”，而不是真正的IMO级别的奥数竞赛题。

我们的学生，不可能总是当小学生的，他们总是要进入到大学的。那么，刚进入到大学的新生，其中有多少比例的，学习过真正的IMO奥数竞赛题呢？

这个比例，因为教育部没有统计，只能靠我们这些老师们模糊的统计。就我在首师大本科生中的调查所知，本科生一个年级180人中，稍微接触了IMO级别奥数题的学生，可能只有一两人，即使这一两人，也不是年年都有的。

我拿过一个初等数论方面的最低入门级题目，给本科生们做，会的同学几乎没有，每次上初等数论课程，基本上都是这样。其实，答案也就两三行，用到的知识，也就是高中数学基础知识。

这说明，这些同学，在中学阶段肯定是没有参加过任何形式的奥数训练的。很多学生，学完小学奥数，上了中学之后，审时度势，就不学真正的奥数了，或者说，很多也是没有能力学了。

首师大本科生，在北京市每年六万名高考生中，能够在高考成绩上排到7000-9000名，也就是10%~15%，不算低了。

那么，我们再看看其他学校，像北航，绝对是中国很好的大学了吧，据我不完全调查，通过朋友转问，他们最好的一个优秀班级，会做这道初等数论最低入门级题目的学生，比例也并不高。

所以说，全民奥数，一定意义上来说是伪命题！

我们再接着讨论下一个说法，这是数学界人士，也是专门搞过奥数的数学家，出面叙述的说法，即真正适合奥数的学生，比例也就是5%左右。其实，根据我这几年接触幼小数学教育的经验和实践情况来看，这个估计还是高了，这个比例，可能指的是，能够超出一定的课堂数学教学内容的学生，但绝对不是能够参加一定强度的奥数训练，并因此获益的学生。

什么样的孩子适合进行高强度奥数训练？

据我的研判，能够参加一定强度的奥数训练，并因此获益的学生，这个获益，包括没有现实成绩，但是思维上受益的学生，比例恐怕也只在千分之五，是非常低的。

现实的数据，很可能是支持我的这种判断的。我们要搞清楚现在是不是“全民奥数”，并且有多少学生，适合进行奥数训练，还是得靠真实的数据，比如教育部针对大学入学新生，尤其是那些名校级别的，组织一场考试，出一些入门级或门槛级的奥数题目，看看有多少人能答得出来。

国家教育部，一直提倡减负，但是向社会负责的第一步，就是提供一些真实的数据给社会群众，而不是官方指令式的低效管制。

我手头上也没有这种最实在的统计数据，但根据我多年的教学经验和科研体会，我的估计是这样的，即千分之五这个档次。

人数极少，这可能也才是真正的奥数的尊严所在。有些文科学者，把奥数形容为“黄赌毒”，斯文扫尽，只能说明其本人的学识太低，瞎比喻而不自知。

真正能对奥数上瘾的孩子，在中国很多么？如果这样，那么我们中国绝对是会很强大的，对奥数上瘾了，就会像“黄赌毒”那么下流、龌龊么？ 不知所云，这就是某些中国文科学者们的文字能力。

那么，真正的奥数，考什么呢？

普通人可能会以为，考的都是偏题、怪题。其实，从奥数的知识范围覆盖上来说，分代数、几何、数论和组合数学四大类，这四大类知识本身，在数学知识体系中，并不偏，也不怪。

我们可以把数学分为三大类，应用数学，基础数学，纯粹数学。像现代数论和现代微分几何，可以归于纯粹数学中最主流的两条线；而分析学和代数学，则归于基础数学中最主流的两条线；组合数学呢，最近的发展比较大，既有纯粹数学的部分，也有应用数学的部分；像统计学，则无疑应该属于应用数学。

那么，奥数竞赛的四大类之一为初等数论，就不奇怪了。初等数论的前面几章，因数分解定理，也是大学抽象代数课程的先继知识。

代数，就更不必说了。中学代数的知识和能力，延展性是最强的，直接作用于大学数学。

平面几何，情况稍微有点儿复杂，因为它跟现代微分几何，在知识上完全是两码事，不像初等数论仍然是现代数论必须掌握的基础知识，这方面需要有一个详细的讨论，请看这篇文章：

当代中学生为什么还要学平面几何？

组合数学，因为也在中学生的能力范围之内，不用微积分，也容易出现技巧性比较强的题目，所以选在奥数范围，也就是非常可以理解的了。至于它的未来延展性，那些知识，也确实是概率论和人工智能所需要的图论的先继知识。

知识确实都是数学主干上的，但因为是竞赛题，必须是前面考试不曾出现过的，包括类似出现过的，所以出题难度比较大，它不可能考书上的定理，从这个角度来说，有点儿偏，有点儿怪，是必须的。

其中有些题，来源于前人数学家的论文中的某一小段，用了非常妙的技巧，就很适合用来作为竞赛题。所以，从这个角度上来说，竞赛题其实也不是碎片化的，而是应该结合在学科体系之内的。

当然，也有一些题，是专门为竞赛，人为编出来的，我相识的数学家同事中，就有数位是IMO奥数金牌，他们在跟我交谈时，对奥数不再感兴趣，也是有这个原因在里面，当然，也可能跟国内的环境有关，不是为了学业本身，就是为了商业。

国外数学家，去年的Fields奖获得者Venketash，也有类似的说法:

「“In retrospect I'm not so fond of the idea of Olympiads,” he said. “I think if that was what mathematicians really did, I wouldn't enjoy being a mathematician.”」

Venketash是数学天才，27岁就获得了Stanford大学正教授，这篇访谈很有深度（有中文版翻译），可以帮助家长们了解顶级数学家的心态和品味，类似的书籍，强烈推荐林开亮翻译的《当代大数学家画传》，我收录到这个豆瓣书单中：

https://www.douban.com/doulist/113473553/

我在前面的文章

什么样的孩子适合进行高强度奥数训练？

指出，除了竞赛型数学题之外，还有一类题，不妨叫做驱动型数学题，这些题，是那些真正推动数学历史进步的题，但是因为都在书上写过了，没有办法拿来考试。

中国式教学，讲究速效，可能很多学生当时年纪小，也不懂，就被大人给带歪了。培训的时候，很多会采取这样的做法，把那些驱动型题目，快速通过，仅仅当作基础知识，而没有使用探索性的教学方法，反复揣摩。

这样也是仍然有可能拿IMO奥数奖牌的。普通家长们会很奇怪，中国的IMO奥数奖牌，为什么有很多无法成为数学家/科学家呢？甚至其中有些，连博士学位都没有拿到，这怎么回事呢？

其实，据我的想法，就跟他们这种学习方法有关。作为竞赛生，一定不能只学竞赛题，一定还要有另一条线放在驱动型数学题。更进一步，还要有兴趣于这个世界的其他知识，不能光是数学。

国外这方面相对平衡一些，那么，如果一个孩子，还干了很多其他的事，只是用自己的部分时间，就“轻松”地拿到了IMO奖牌，而另外一个孩子，努了半天劲才拿到，很明显，这两块奖牌的数学含金量是不一样的。

后者，在大学阶段没有心力再去学习，也是我们可以理解的，中学阶段把元气就给耗尽了。前者，最终成为领袖级数学家/科学家，也是不会让我们特别的惊讶。

那么对于中国家长们来说，如果知道了为拿奥数金牌，过于努，努劲太大伤到元气，导致无法成为数学家/科学家，甚至有可能会伤及拿到博士学位，中国家长们会怎么判断呢，关键还是要有信息知情权，知道了之后，各家自己选择，这个世界也因此是多元的。

话说回来，中国的IMO奖牌们，跟美国的IMO奖牌获得者们相比较，成为数学家/科学家的比例，倒底是多少？这个还是要靠真实的统计数据来比较，现在很多新闻报道，没有数据，就都只是想象而已了，我们这方面的讨论，也就只能从原理上来说。

所谓数学家/科学家，判定的标准也很明确，就是拿到了大学的正教授职位，或者在高级研究机构拿到了相应职位。

IMO奥数因为是一项竞赛性考试，只考6道题，每道题计时90分钟，意思是，这些题都是在以前的考试中没有出现过的，很难通过猜题、押题去让学生提前准备，所以一道题要花那么多时间，才能构思出解决方案。

奥数金牌获奖者，之所以获得尊重，就是因为他们要在这90分钟里，把这道题解决出来，每天三道题，共两天。

这对智力的挑战是非常之大！

IMO奥数竞赛国家队的队员有6人，美国奥数国家队教练在访谈中说过，他们比较要花心思的是，也就是比较头疼的是，怎么挑出第6人，使得他的成绩能够尽量的高，接近满分。

美国的人口也不少了，举美国这么大的人口，凑齐6个人都是难事，可想这里面的难度有多大。其实，就这几年的中国奥数队的成绩来看，也是类似的难度。

根据智商理论的钟曲线说法，数学天才在人口中的分布比例，在美国跟中国之间，相差的不是太大。如果说到对奥数培训的支持，实际上，美国做的更好一些。譬如，美国的公立学校，是可以办课外奥数培训班的，免费，而这在中国是非法的，明令禁止的，好处被谁拿去了，教育部能不知道么，教育部的目的是什么呢。

美国在奥数培训方面做的很多工作，实际上超过了中国，如美国学奥数的孩子，都会经常去一个网站，在那里做题，以及互相讨论。这样级别的网站，在中国还没有，包括它的教材，也有可供参考之处。譬如，它们把书写的像是一本正式的数学教材，包含了正式的学校教学内容，只不过更深些，反观中国奥数教材，这样写法的，还少见（最近有一本，应该是非常好，我还没仔细看，估计是那位名师的心血之作）。

美国孩子的平均数学水准，确实比中国孩子要差。但是，数学天才，在人口中是平均分布的，即，美国孩子中的数学天才，比中国孩子中的数学天才，数量上就没有那么大的差别了，再然后加上美国这方面比较好的服务，美国队奥数成绩，超过中国队，应该是一个长期的现象。

如果没有那么聪明，还要硬去拼奥数的话，确实会给孩子们以后的数学学习，造成困扰。我们的本科生，很多经过小学奥数学习，但是为什么大学数学学不好呢？

除了学习动力问题之外，还有一个关键之处在于，小学奥数需要孩子智商高，但是，光学习小学奥数，并不意味着就可以提高这个孩子的智商，及数学能力，以及更高阶的数学成熟度。

听懂了我的意思了么。现在网络文章，很多都是快速阅读，看不懂文章意思的读者很多，很多信息在文章中透露了，但是没有阅读能力，就不能够由那些信息推理出自己关心的问题答案。

像我们上次文章，

自由地跑着学：中国式教育战略容易缺漏的认识之一

转发在博雅小学堂，

https://mp.weixin.qq.com/s/slizM7vJ_D46C6UZDZATkw    对原文有删节。

有一位网友这样回复：

「文章的观点有道理，但是很明显的误区是以为学到前面就自然解决奥数。说明作者没有孩子或者孩子并没有“真正”接触奥数，因为里面隐含的逻辑是错的。很多数学系博士也未见得很容易看明白或者解开小奥的题目，不是说数学本身有问题，是因为奥数和数学并不是完全对等的“降维”。当然，再重复一下，同意作者不要过分在意奥数特别是小奥的观点。」

我在博文中所举例的那个小县城数学小天才，专门在文章中指明，这个孩子初中数学教材看完之后，回过头去再做小学奥数题的时候，至于做会了多少，家长并不知道的。就是怕有网友有类似的误解，我也知道现在很多人阅读理解能力低，但是如果是为了儿女的话，可以把文章多看几遍吧，功夫不怕有心人，博采众家之长。

像那些比较有深度的文章，或者书，如张五常的《五常谈教育》,里面很多东西，对科学家来说是常识，但是对于普通家长来说，可能很少听说过，对于这类信息，建议家长们还是要多看几遍，多看几遍后可能才真正明白作者的意思。

实际上，我在文章中提到的，我考查这位小县城数学小天才的两道奥数题，可不是小学奥数题，而是非常高水准的中学奥数题了，人和人之间是不能比的，他的能力是我那些本科生的很多倍，都不可知了，实际上，我也已经说了，他超出了我的理解范围。这是什么意思，一个小孩子的数学能力，超出了一个大学数学教授的理解范围，我的意思再清楚不过了吧。

这样的孩子，在中国有，在美国一样也有，就看哪个国家的产出率更高了，一年有那么几个，能不能发育成功，就需要良好的土壤和天气环境。

虽然说，这样的孩子一定是很少的，但是搞奥数竞赛的那帮人的做法，并没有超出我那篇文章中所说的规律

什么样的孩子适合进行高强度奥数训练？  

“老老实实地读书，读第一遍第二遍的时候，就做一些基本的题，如果有能力，则从第三遍开始再做高级别而又有启发性的难题。”

如果想搞奥数竞赛的话，必然是超前学习的，准入门槛估计是，小学阶段已经学完初中数学，至于那个县城小天才，则是在小学阶段学完整个中学六年数学课程，做了中考和高考数学卷子，达到了一个比较满意的分值，之后到现在已经开始一段时间的中学奥数竞赛题的训练。

这个规律，其实就不是个例了，大家去看看，现在那些获奖的奥数竞赛选手们，哪个不是往前学的至少超过三年呢？

所以说，人的能力上是有个性之分，但是在规律性的东西上，大抵来说就是这么回事。

实际上，我那篇博文在附注中专门提到，美国Hopkins大学的超常教育项目，他们办了几十年，其最核心的做法，就是让孩子们在美国的相对简单的数学教学体系中，尽量往前学，给这些超常孩子们，提供往前学的机会。

家长们需要注意的是，我提到的这个小县城数学小天才，自己误打误撞地采用了美国的超常教育项目总结出来的人才成长规律，说是误打误撞，其实肯定跟他自己的天资和品味，跟家长对他的支持，跟当地缺乏小学奥数培训和竞争，都大有关系。

小学奥数，其实就是个坑，让很多家长迷惑在里面，孩子真正的能力没有训练出来，这恐怕是大多数的实际情况了。

譬如，拿我们首师大的本科生来说，有些智商还是可以的，但也有些，数学基本能力并没有练出来，却仍然进行了五年或六年的小学奥数培训，其实都是把孩子的时间耽误了。我们用这份初中入学数学测试题型，来测试他们，结果分数非常低，像这样的学生，当初就不应该去学那些小学奥数，把我们这些基本数学测试，做好就很不错了，真正提升了他的数学智力，里面的科学原理，就不在本文说了。

感兴趣的，可以做做试试：

 https://jinshuju.net/f/ILquDh?from=singlemessage&isappinstalled=0   

初中入学数学测试题型，这份卷子只有这一个题型，更多初中代数基本题型，请参考前面博文。

我的很多信息，也来源于家长们，他们的实践，往往超前于理论，倒底最操心自己孩子的，还是自己啊。我这篇文章，也算是一个信息的科普，数学界应该把一些真实的情况告知家长们，至于家长们怎么选择，那就是个人的事了，但是，至少要有一个信息透明的权利。

不是说不学奥数，而是说，您家孩子的能力，够得上学奥数么？一定要选择最适合自己的成长路径。全中国最后能参赛的就6个人，能拿到百分之百确定的好处的，即进入国家集训队的，有60人，肯定上北大清华，再剩下来的，参加自主招生选拔，但那就不确定了。所以说，我前面千分之五的估计，即全中国一届两千万学生中有十万人，真有可能是跟实际数据相符的，包括连自主招生失败，但是思维能力上受益的。

美国的奥数教育体系，因为注意普及，他们的入门级的竞赛，即官方的AMC8,10,12考试，相对就简单很多，可以接轨的学生群体，就高很多了，我觉得，凡是中国稍微学的好一些的学生，班级前几名，都可以适合的。数学竞赛，在美国搞的有很多种，MathCounts在初中阶段搞的比官方的AMC8还热闹，题都不算难，考查的角度跟中国不一样。

下面是已经走过来的一些家长们的信息分享：

------------北京的家长--------------------------------

昨天一位六年级孩子的妈妈告诉我，通过奥数点招进入人大附等好中学的孩子，到了初二、初三，大约有80%的孩子，学习成绩会不可控制地跌落。

      说明这些孩子通过刷奥数题取得的成绩，而实际上没有真正学明白。这个比例之高，她开始时也不相信。等她向一位人大附的老师求证后，才相信，确实有这么高的比例。

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我来给大家解释，这个现象在教学上的原理。至于另外的信息点，就不在本文讨论了，凡事肯定都是有原因的。

真正的IMO奥数，一道题要做90分钟，能做出来就是高手，那么它训练的能力就是那种攀岩级别的，这些IMO奥数竞赛题，往往是由大学数学教授/数学家提供的，而且往往还不是普通的数学家，据媒体访谈文章上说，中国提供出的IMO奥数竞赛题就比较少。

现在中国常见的奥数培训所采用的模式，则是先讲例题，再做个跟它相似的习题，这种训练方式下，实际上跟真正的IMO奥数竞赛，是背道相驰的，这种培训，越培训越缺少灵气劲儿，无法去真正参赛。

培训教师，已经把这道题最难思考的那些关键点，替孩子们取消掉了，孩子们只要模仿就行了，所以，有科学网博客文章分析，盗版和模仿的心理，这些在中国社会中普遍存在的因素，是导致国家科技能力不会太强的原因。

我们也打击一下现在的一些奥数培训从业人员，他们因为商业性的原因，必须做一些广告，说自己年青时在数学竞赛中怎么怎么样的成绩，比较能蛊惑一些不明真相的家长们，其实，那种套题出来的成绩，只能到一定的层次，然后就再也上不去了，无法参加真正的奥赛，甚至到了大学，真正的数学也学不进去。

小时候奥数那么强，智商一定很高，怎么最终了，连一个博士学位都无法获得呢？这难道不是一个尖锐的问题么，听这种老师瞎吹，奥数=数学，小学奥数=奥数，基本的学科逻辑都弄不清楚。如果说到锻炼思维能力，他自己就是套题学出来的，成年后也不反思和惭愧，还能把您家孩子的数学思维能力，真正练出来么。

瞎吹最是毁中国！

如果家长们想知道真正的奥数培训，请一定看这本书《完美的证明》，其中有很多页内容，讲述的是俄罗斯的奥数教学方式，大家看了书后就会知道，只有这种方式，才能培养出真正的数学家，以及IMO获奖者。当然，肯定也不是每个孩子都是，只可能是在天资的基础上，进行最大可能的培育。

小学奥数确实有很大的问题。很多家长会说，我也知道啊，但没办法，小升初要考。这个确实是实情，各家有各家的选择，有些家长比较有个性，不太注重小学奥数，让自家孩子往前学的比较多，从而在中学阶段占了优势，这是北京地区，以及全国地区都有出现的新现象。

关于小学奥数，国家教育部也不能硬性去封杀，而是要讲道理吧，真正的引导群众，而不是站到群众的对立面上去，否则，那又是什么原因呢？

家长们担心的是小升初，那么小升初方面，国家能不能拿出一个公开、透明的机制，这才是关键！其他学科我不懂，但是，数学学科在10~12岁阶段进行人生的第一次选拔，我觉得还是应该的，更何况我们国家那么大，在这第一次选拔里，我们只要严格规定为1%的比例即可，不要滥，不要暗箱操作，搞得所有家长都心慌慌。

这1%比例的学生，还可以作为教育部的严格管控对象，减负的标准，就往这1%比例的学生身上使，让他们在有充分的体育活动时间，充分的社会活动时间，充分的周末活动时间的前提下，去跟其他的学生们竞争，因为这些孩子最聪明啊，既玩好了，又学好了，对于这些学生来说，是可能的。

教育部只有拿出这样真实的教学成果，让百姓们看到，群众们才相信啊。这样，很多普通家长，普通学校，也就不会再过于采用榨油式教学战术了。 

教育部喊了减负那么多年，但为什么情况越来越恶化呢？这就跟古代的皇帝一样，权力再大，实际上的管控能力也不可能那么深入，政令出不了皇城是常例，因为法不治众。如果把自己的权力，限制在1%学生及其所属学校，就对学校存在着跟荣誉相关的准入/退出机制，国家的强权力量，就有了落实点。

我们虽然也都只是普通老百姓，但是只要对这些想法感兴趣的，愿意花些功夫想想这些国家级政策的，而不只是把注意力放在自家子女身上的，可以参加我们发起的研讨。

只有设计好“精英教育”，才能真正开始实现“公平”和“减负” http://blog.sciencenet.cn/blog-45143-1175411.html

附注1. 国外的数学竞赛，在初级阶段不强调题目的难度。大家去看美国AMC8，即8年级，难度比国内被封杀的以前那些小学奥数竞赛的难度还要低，所以，有些低年级的美国小学生天才也会参加。 MathCounts的难度也不大，但对计算的准确度和快速度有很高的要求，获奖者基本上都是达到了该年龄段的极限水准，估计就是中国的学生去跟他们比赛，也不见得会赢。

        国内的小学奥数竞赛，现在是被封杀了，但是它们也要反思，将来如果恢复之后，也要反思自己体系的不足，借鉴国外的经验。小学奥数，既然不等于IMO奥数，那么，它的出题方法，也就应该不等于IMO奥数，不见得要那么难。

       像MathCounts那样，把注意力放在准确度和快速度上，也未为不可，其实跟小学阶段的教学目标，是相符的。