【注：下文是单位群邮件的内容，标题是后加的。】 

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上午坐出租车到单位上班。咦，学校还在呢？图书馆、实验楼、教学楼也都没动地方。嘿嘿。

.李毅伟 李毅伟 李毅伟 李毅伟 李毅伟 太原科技大学 太原科技大学 太原科技大学

(接上回*)  Bounded families of pairs. A couple (X, S) consists of a normal projective variety X and a divisor S on X whose coefficients are all equal to 1, i.e. S is a reduced divisor. We say that a set P of couples is birationally bounded if there exist finitely many projective morphisms Vi --> Ti of varieties and reduced divisors Ci on Vi such that for each (X, S) ∈P there exist an i, a closed point t ∈Ti, and a birational isomorphism phi: Vit --> X such that (Vit, Cit) is a couple and E ≤ Cit where Vit and Cit are the fibres over t of the morphisms Vi --> Ti and Ci --> Ti, respectively, and E is the sum of the birational transform of S and the reduced exceptional divisor of phi. We say P is bounded if we can choose phi to be an isomorphism.

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第一句，所谓“配偶”(X, S) 由一个正常摄影簇X和一个X上的幺除子S组成（幺除子是指系数均为1的除子）。

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第二句，我们说，配偶的集合P是“双有理有界的”，如果存在有限多的簇间摄影态射 Vi --> Ti 以及 Vi上的幺除子Ci, 使得：对于每个 (X, S) ∈P，存在 i, 闭点 t ∈Ti，以及 双有理同构 phi: Vit --> X 使得 (Vit, Cit)是一个配偶，并且 E ≤ Cit；其中，Vit 和 Cit 是分别属于态射Vi --> Ti 和 Ci --> Ti 的 t上的 fibres，而 E 是 S 的双有理变换 和 phi的幺例外除子 之和。

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第三句，P 称作“有界的”，如果可以选择同构的phi。 

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评注：给出了三个定义（couple; birationally bounded; bounded）。注：原文中，i 是上标，t 是下标。

评论：前两个是铺垫，落点是第三个定义，重心在第二个定义。

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特评：

1. 从样子和内容看，第一句中的“配偶”似可看做特殊类型的“配对”。

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2. 第二句很长，围绕集合 P 说事儿，它是“配偶的集合”。更清楚地写出来，即：P ={(X, S) | (X, S) 是配偶 }。不过有一点说得不是特别清楚，即不知道P里面收集了多少配偶，姑且不问。

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3. 为了理顺关系，先把第二句中涉及的符号画成关系图。

                (X, S) ∈P

                  |

phi: Vit --> X

         |  

   Vi --> Ti

         \    ↑ — Cit ( ≥ E)

             Ci

其中，Vi和Ti是簇，Ci是Vi上的幺除子；其它见下文。

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4. 上面的关系图怎么看？这么看：

a）靠下方的 Vi, Ti 和 Ci 构成一个直角三角形，两个带箭头的直角边对应两个“态射”，各自联络Vit 和 Cit；

b）Vit 和 Cit 的属性跟随箭头的起始端，即Vit 是簇，Cit是幺除子，且它们形成配偶；

C）为了这一切与(X, S)发生联系，要求有个映射phi，并且是双有理同构。

D）关系式 Cit ≥ E 体现了“有界”。

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注：为了方便，可以引入记号：bi(S) 以及 red(phi)，分别表示“S的双有理变换”和“phi的幺例外除子”，这样就有：E=bi(S)+red(phi)。可以清楚地看到，E是关于配偶的量（或者，把E看做配偶的度量）。

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5. 按照上述图解，可以清楚地看到：所谓双有理有界的集合P，是指其“内容”被划分为有限多个类（双有理同构的意义下），并且P中每个配偶的度量E存在上界。

（问题：属于同一类的所有配偶存在公共的上界吗？）

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6. 最后一句，去掉了“双有理”，要求似乎更强一点。

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* * *

上面还剩一段，下回再续。今天开学第一堂课，提了基本要求和上课方式，建立了课程群。课堂主题是“关于数学的困惑”，现场请了几位同学谈自己的看法，我给予点评的同时也分享若干观点。

比如，有同学谈到：迄今已经学了一些数学，也会做一些计算，但不知道有什么用？我的回答是，出现这个困惑，原因在于“就是这么安排的”，意思是说，一开始就把人们安排在了基础层面，就好像卡通被画到纸上，就只能在那个平面上移动，无法跳出来。如果从顶端开始，然后逐渐退到基础层面，按这个顺序学习，就知道自己是为了—— 回到顶端。

从顶端开始，虽然会很困难，但却是最安全的：即便是菲奖作者的成名作，它也只是有限的几十页、几百页，其中的符号和单词都是个有限的数字。下大力气搞通这么一篇文章，水平也就靠近一流了。

另一位同学谈到，学习了不少数学内容，但除了考研或当老师，看不出还能做什么工作。我的回答是，学数学对应着一个伟大的职业 —— 成为数学家。进入了数学系，却从不认为自己跟数学家有任何关系，这似乎是很多数学系的共性。这里面似乎有一种假设层面的“不情愿” 和 “距离感”。当然，不排除文化、心理原因。

依我看，成为数学家只取决于自己怎么看自己，与他人无关。

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