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在线会议：初中生学完高中数学之后应该学什么？
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在线会议：初中生学完高中数学之后应该学什么？
王永晖
我前天跟北京中学的骨干教师赵生初老师一起聊了4个多小时。我才知道，他原来已经做了很多教学探索，其实我们早就加了微信，感觉交流知道的有点儿晚了。
赵老师告诉我，他在北京中学的这一届学生，是从初一直通车带到高三的，初中三年，他们就已经把中学数学六年知识，基本上学完了，只剩下概率论一小点儿没教。那么剩下来的时间，尤其是高一、高二，他们在干什么呢？
他们现在才是高一，已经学了刘玉琏的《数学分析》的一部分，挑着学的，我听着，感觉像是沿着微积分的风格来学的。现在是在学梅向明等人所著的《高等几何》，里面有仿射几何，射影几何。
交谈中，让我再次意识到这个问题，初中生学完高中数学之后应该学什么？
这个问题，很值得大家探讨，思考，为未来更多的这样的中学生，做预研。我这里先抛砖引玉一下，不是下定论，而是介绍一下各方面的信息，正好也为我们讨论这个议题的在线会议，召集人手。
赵老师目前之所以选择上面两本书，有一个很突出的特点是，那些知识，跟中学解题，还是有很大的相关度。相比起来，线性代数，中国数学系叫做高等代数，赵老师就不是太重视了，虽然说，线性代数，在如今计算机人工智能大行其道的世界里面，极为重要。
赵生初老师，是首师大数学系的博士，数学教育方向，导师是王尚志教授，王尚志老师在中国数学教育界的地位极高，曾经是教育部高中数学课标研制专家组负责人，退休前一直是这方面的领军人物。
赵生初老师的学生们，按照他的教学方案来走，高一高二虽然学的是大学教材，但是高三复习高考题时，做题能力只会更强，更游刃有余。他的教材内容选择，也有这个背景，他这个项目也才能在北京中学长存。
我们这篇文章中筹备的微信群和相关在线会议，召集的参与人，还是有相当高的准入门槛的：
1. 如赵生初老师那样，曾经在某所中学，施行过初一到高三的六年贯通式数学教学。
2. 理工科方面的博士，至少是博士，同时也非常关注中小学教育，在这方面做过一定程度的思考和实践。
3. 硕士级别，或本科，但是，深度地参与了孩子的数学学习历程，孩子目前非常优秀，达到的级别，接近于目前在孩子学业方面最成功的中国家长蔡笑晚，或者达到于，这位海外华人家长- -陈昕，她现在对国外名校的入学咨询也非常有经验了。
第1个条件的中学老师，估计目前中国还很少，欢迎前来联系，跟赵生初老师凑成一个小微信群，大家在里面交流心得。这些老师，即使在自己学校里面，想必也是比较孤独的，知音难遇，现在有了微信群，就不必有朋自远方来了，而是可以经常切磋，互相交流，形成一个研讨小团体了。
第2个的条件是，这个群准入门槛较高，我们就不邀请普通的老师和家长了，除非对方有足够的学问积累。这些学问深的老师们，科学家们，日常工作都很忙，国家和单位也都是给予他们重任，如果对中小学数学教育关心，愿意参与赵生初小组的讨论，我们当然是求之不得了。
另外一个意思是，中小学的教学，当然必须有足够水平的师资才能承担，进一步的，中小学的教学改革，实际上，已经超出了绝大多数中小学老师们，校长们的知识水平和能力了，必须由更高一层级的数学家、科学家，来讨论清楚，确定方向，甚至是做出胚胎版实践，然后再由优秀的中小学数学教师来落实。
落实得靠他们，但是教改方案的设计，是无法单靠中小学教师团队们本身的，因为这是定标准，定方向，定框架。普通中小学老师的学养，哪怕是地位高到名校校长级别，甚至进到国务院参事，也在具体学问领域，达不到的了。
既没有那个学养，也没有那个动力了，很多老师只是把教学当做谋生的手段，会觉得按部就班地管好自己的一亩三分地，岂不是更好。
初一到高三的六年贯通式教学，也因此出现的极少，最著名的是孙维刚教学法，赵生初老师当年还是硕士生博士生的时候，去听过课。赵老师现在做的事情，在学习内容上，比孙维刚当年要多，加入进了大学数学教材。
我听了赵老师的介绍之后，心中还是稍有疑惑，所以专为此文。譬如说，是不是一定要像赵老师那样，挑那些跟中学做题比较接近的内容才学的，要是从大学角度来考虑，线性代数，无疑比梅向明《高等几何》书上的内容，更为基本和重要，应用面更广。
那么，我们用一个什么思路，来考虑这个问题呢?
因为有了赵生初老师的鲜活的教学经历，才促成我写就此文，否则只是空谈，也离开了具体的时代情景和国情。
我们这篇文章想考虑清楚的这个问题（包括微信小群和在线讨论会），在美国就不太有这个问题，因为美国高中生，实际上是太忙了，有各种资源和渠道，譬如说，它们有各科大学数学的AP考试，光把这些考试，一溜烟地考下来，基本上就没剩下来多少时间了。
还有各种暑期学校Summer School, 科学竞赛项目。
那么，我们是不是直接把美国的种种，都照搬过来不就好了。可能也不是，照搬本身也不一定真正能够实现。譬如，我就知道，几年前中国教育界，数学教育界，就想把美国的那套AP微积分考试，借鉴过来，成为中国的CAP微积分考试，都几年过去了，也没什么太大的动静，据说，影响力也不大，有些名校中学，刚开始参与动力还挺大，后来也似乎不太起劲了。
那么，初中生学完高中数学之后，在高一、高二阶段，继续学哪些为好，就是一个我们可以深入考虑，可以从零建设的项目，而不像美国那样，已经有了范式模本，即使觉得里面还有滞碍不通之处，想改也未必好改了。
初中生就学完高中数学，这在全中国范围内，也还是有很多学生的，这件事情，现在已经不稀奇了。目前，比较稀缺的是，初中生就学完大学数学系基础课程，就我目前掌握到的客观数据来看，真正能做到的人数，还是少，很可能全中国就是在个位数，或者说，二十几人左右。
不过，大多数学完高中数学的那些初中生，恐怕是从小校外学下来的，赵老师的举动，意义在于，他们是班级建制，是学校行为，这个在中国目前，恐怕还是很少的。
本文主要关心的是这种建制，所以，请普通的家长们不要误入，我们讨论的结果，会向社会公开，供家长们乃至名校们参考，但微信群和讨论会本身，仅仅针对的是这些有资质，有学问，真正在这方面有发言权的人，不欢迎网络上那种闹哄哄的旁观，往往搞得真正的核心骨干静言。
对于超级数学天才来说，以及对于美国学生来说，本文后面的部分，其实就不存在了。就像我认识的超级数学小天才，是在初一甚至之前的时候，就看完了大学数学基础课程，而且用的都是名校那种高难度教材。这位学生，在初一下学期的时候，看的是研究生基础教材，由我们国家的孙斌勇院士指导，指导了8、9次。本来还可以指导的次数更多，因为他还要参加云南省的高联竞赛（获得第一名，但因为年龄小不计算在奖励名额之内），时间上稍有冲突还停了好一段时间。
对于这种超级数学小天才，他其实就跟大学生差不多，就像推土机一样，把教材往前推就行了。这个程度，当然比美国的AP课程，同样是教材式学习，难度高了很多。
赵生初老师，用他的教学情景，促发我继续进一步想这个问题，毕竟全中国这种超级数学小天才，每年只有几个，甚至只有1个（清华大学丘成桐计划的考试结果证明的）。
赵老师的班上学生，有获得高联竞赛北京市一等奖1人，但未进国家冬令营。这样的成绩，相当可以了，因为我们知道，北京的奥数生，长期以来，都是进入到人大附中奥数班的，其他学校就基本上很难在奥数方面拿到突出成绩了。
这些学生，虽然已经被赵老师培养的很强了，但肯定还是弱于我认识的顶级数学小天才的，他们在高一、高二阶段，怎么学，学什么，就是一个我非常感兴趣的问题了，反正现在也没什么AP课程，没什么大奖赛去吸引他们。
这类学生，数学学的很好了，比通常学生好多了，中学六年数学已经学完了。但是呢，奥数竞赛进入不到冬令营60人组，那么在奥数这条路上，这些学生也没劲走下去，赵老师带着他们去学大学数学，就是一种很有益的探索。
不过呢，赵老师的聊天，就给我了一个很好的教学情景：这些高中生，毕竟跟大学数学系本科生不一样，没有那么多时间，专门学数学啊。
他们还有其他各科，甚至有相应的组长级老师劝这些学生，你们现在没必要把那么多时间放在数学上，反正高考也不考啊，你们应该把目前的数学时间砍掉（一半），用在其他学科上，这样高考总分才能高啊！
赵老师的上一届学生中，高考成绩非常好，几位进北大清华的，其中有一位高考总分超过700分。
赵老师对于这种做法，也很无奈。他比我还更加清淡，不过还是带着尴尬的笑容说，那些听了此建议的学生们，效果并不好，其他成绩没提起来不说，数学成绩反而却降下来了（在退出了赵老师的数学课堂之后）。
我很震惊，难道学生的成绩，跟师资的关系有这么大！
赵老师解释，数学时间砍掉用在别的学科上，说是那么说，想是那么想，但是真正落实的时候，这些学生恐怕是把那些时间，用在了打游戏、玩上面，退出了激荡拼搏的人生，就没有那么大的拼劲了。
作为一位老师和成年人，我很明白，能听懂赵老师的意思！
那么，对于这类学生，他们还没办法像超级数学小天才那样去推土机般闯数学，能够把大学数学教材的整本书，一本一本拿下来，也没办法像大学数学系学生们那样，有那么多的时间学数学，因此，他们应该怎么办？
我们并不反对高中生要各科平衡，也不反对高考总分要高，这些都是现实的考虑，我们尊重这个前提条件之下，还能做什么呢？
我们现在要想出来的办法，不是去变相地提高这些学生的数学学习时间，从而可以像数学系学生那样去啃某一本教材，当然，实际上具体计算课时的话，拿下单科某一本教材，也仍然是有可能的。
我们只是说，如果有可能的话，学生们自己也特别喜欢，把自己周末本来用于休闲、打游戏的时间，但不侵占周末体育锻炼时间，用来做数学学习项目，这样的时间扩展，就也还可以。
那么，就这些时间，我们拿来怎么用呢？
赵老师的数学课堂时间，是普通班的一倍，毕竟他们班还是很特殊么，达到了每周8小时。赵老师的课堂，是这么使用的：不是全由老师在上课，而是把课堂时间都提供给学生们用来读那两本教材，学生在看不懂，卡住的时候，就提问，有些问题必须老师回答才能解释清楚，立下示范和标准，而有些问题，由其他同学回答就可以了。
他们就是这样推进的!
这个做法本身，已经非常好了！所以，赵老师的学生们，课下的数学作业并不多，而且不是硬性任务，可做可不做，全由学生自己心意决定。
我们想讨论的是，这些学生，高一高二课堂的内容，是否还有其他可能的方案，可能的教学框架性方向。我们想把这个问题，从哲学级别先建立起来，这样就能够高屋建瓴，用于各种具体情况之中了！
除了像大学数学系那样，一步一步地去读教材，或者说，精选一下读简化版，我们还有什么其他可能的选项，其他可能的指导思想么？
我用示例法，来一步步介绍我的思考，也希望能够抛砖引玉，聚起一些老师们，共同思考、讨论和实践。
我下面的示例，都属于PBL教学法，这个教学法的大体意思是，做法上，更接近于读论文，论文中一般都是有一个主定理或主思想的，一切的攻打，都是为了这个龙头在服务。这就跟教材不一样，教材是网状的，希望将尽可能多的知识一网打尽。
也就是说，即使是读教材，我们这些有经验的数学家、科学家，也要从教材中，选定出一个龙头级目标，告诉学生们，把它弄明白。那些为了攻克这个目标，所需要的知识，由我们这些数学家/科学家，用科普级/框架级的方法，告诉给学生们，具体的细节，他们下去再学，入门领路须口授。
这种科普级/框架级的方法，目前叫做费曼学习法，很多人都知道了。但实际上，普通的学生，只能使用费曼学习法的第一点，即尽量用自己的理解来复述知识，第二点，做到科普级/框架级，实际上根本是不可能的，这往往只能由浸淫这个学科很多年的数学家/科学家才能做到，书里往往不写，随着目前网络视频的流行，希望将来可以借此形式会出现的多一些，目前还不行。
譬如，数学分析，对于适当程度的学生来讲，那种抽象思维能力比较强，比较较真，推理能力很不错的同学来说，有这么一个龙头：
菲赫金哥尔兹《微积分学教程》教材里面的，求和号与积分号组合在一起，有好几种组合方式，这些组合方式下面，交换顺序的问题，我们一般称作收敛性定理。
这个项目的意义在于，这是非常纯数学的一个项目，纯数学的意思就是严谨，如果交换顺序不讲究严谨，不讲究严格的话，那么数学界的很多著名猜想，譬如Riemann猜想，立刻可以证出来。
数学家们，搞的就是这么一个事，为人类的严谨性精神，把守最后一道大门，为人类世界提供以此为基础的理性知识。
这个项目，也不需要学生具有多少的创新精神，就是老老实实地把书读下来。读完后弄懂了，写成自己的笔记就成了。
我曾经指导过首师大的一位本科生，就是这么干，获得了国家级本科生科研奖项。他在申请书中，有一项要求，要他填写，本人有什么创新贡献，我最后拍着桌子，逼着他老老实实地写下，本人尚未有任何创新贡献，只是把Heath-Brown这篇论文，真正读下来了，老师帮我检查了10个小时，确定我每一步都会推。就凭这点儿，一路过关斩将，获得了国家级本科生科研奖项，带奖金的，不知道后来首师大有没有转账给他。
Heath-Brown这篇论文，高中生只要会一些复数的知识，也能读懂，都是初等数学为主。实际上，这篇论文是可以做一定程度的改进，从而在申请书中就可以说有创新了，并不算难，但是因为那位本科生资质还是有限，自己想不出来，我又不能替他写吧。
北京市，一直是有这种中学生做科研小论文，科学家指导的方式，但是，我为什么并没有参加他们的组织呢。原因在于，我点开他们的网站之后，创始人、领导者的名气都很大，好多个院士之类的，数学界因为院士相对少，好像没看到。
网站上介绍，他们已经做了有二十年了。但是，这二十年下来，学生做的论文，做的项目，在哪里呢？网站上根本看不到，这就流于形式了。
所以，像这种光是走形式的活动，表面上看科学家也挂名了，每个学生也都有指导导师了，但是，一届届学生之后，这些学生的东西，在哪里呢，能不能拿出来，让我们看看呢。
我对于这种公开性和透明度，都非常不高的此类中学生科研项目，兴趣不大，即使我确实可以指导某些学生，我也不报名不参加，想让我参加，你得拿出来你们历年做的事才行啊，拿出来至少让我们看看啊？！
科研小论文，或者是科学小论文读书笔记，这种PBL项目的好处就在于：一是，时间要求性，没有读教材那么强，为了攻读一个主定理，为这条主线上服务的相关知识，有时间的话，就读的透点儿，顺藤摸瓜多读一些细节证明，时间少的话，就读的少点儿，掌握住指导导师所说的科普性/框架性脉络，集中攻打主要关键之处即可。
二是，这可以更好地激发高中生的学习兴趣，读书跟做科研，还是很不一样的，PBL项目，更类似于做科研，相对更刺激一些。
PBL项目，也可以用来做经典名著读书项目，这个在数学方面倒不常见，主要是在其他学科。美国有几所名校College，其本科生教育的著名之处，就在于那些本科生要花大量的时间，读名著原版。
我们高中生，其实也可以这样做啊！
实际上，我是不太赞成本科生College读经典名著的，直接读现代教材，不就好了么。花那些时间，真是有点儿浪费（以后真正成为科学家了，获得大学教职了，再在闲暇阅读时间，比如自己思想卡壳之时，阅读消遣一下就好了）。后来，我查了那个名校College的数学科研情况，确实很差，老师自己都不做科研，不懂科研，那还谈怎么去理解名著呢，很容易弄成玄谈。
不过，对于学有余力的高中生来说，正是人生中充满梦幻的年龄，这个时候，如果是高中生自己愿意，而不是教师指定的，他们愿意深读某本名著，我还是乐观其成的。
譬如，牛顿的《自然哲学的数学原理》，就挺好了，但是，要注意，不要光看名著的原本，后世学者对该著作做的相关解读，譬如科学史专家们的解读之类的，应该同时看看，这样，才是当做一个科研项目。一个PBL项目的含义，不光是这本著作本身说了什么，关键在于，它对于我们后世的影响，要查参考文献，不要光靠自己瞎琢磨。
再譬如，现在有不少家长，推动孩子小学生高年级阶段，学习欧几里得的《几何原本》，我是觉得不太合适，直接看教材可能更好，但是，也真有极为特殊，极少的孩子，能看进去，很喜欢看《几何原本》，而不是内容也很丰富、也很正规的国内外经典平面几何教材。
一位高中生，如果很喜欢《几何原本》，把它当作一种研究项目，搞清楚里面的来龙去脉，道道，其实也是很合适，很好的！
那么，什么叫”好“呢？我们要给”好“，一个比较清晰的哲学性解释吧。
我们想，”好“这个字，除了能够给高中生，提供大学阶段更为基础、应用面更广的学科知识之外，譬如，线性代数，无疑就罗列在其中，微积分更是了。
”好“的另外一层含义，就在于这位高中生想读，自己非常感兴趣，就想往里面读下去。只要自己有兴趣就行，这个时候，老师提供的只是一种技术性支持，一种哲学性评估而已。
你感兴趣的这个事，在人类历史上，重不重要！
大家知道，特别重要的数学问题，本科生都做不了，甚至都读不下来，更别说高中生了。我们这里所说的重要，指的不是数学猜想本身，而指的是，是不是接近数学猜想这条主线。像我前面示例说的两个数学小项目，一个是跟Riemann猜想有相关背景，另一个就直接是Goldbach猜想领域的一篇重要论文，是更多更重要的后继论文的起点之一。
当然，这些科研小项目，能拿的出手来，就得靠我们这些大学级别的数学家/科学家了。
实际上，最顶级的奥数题，IMO奥数竞赛题目，很多都是数学家写的，往往还都是高手数学家。他们把论文中某种成分摘出来，就变成一道奥数题了，全世界之前都没有，才能用作最顶级的奥数竞赛题。
如果用这个眼光来看，IMO奥数题，也可以作为高中生的PBL项目。这里要插播一句背景解释，先不说数学教学本身上的做法。前面不是说过了么，赵老师的学生，虽然也获得了高联一等奖，但是进不了冬令营，也就相当于没法走奥数竞赛获奖上名校这条线了，得老老实实走高考了，高考拿高分才是实在。
我这里怎么反而又提起奥数题了呢？ 实际上，我虽然反对小学奥数
小学奥数不是真正的奥数--借喻爱因斯坦在普朗克六十岁生日庆祝会上的演讲
但是，我反对的不是奥数题本身，而是为了拿成绩，为了应付考试，所采取的那种急功近利的办法，非常不适合小学生，容易把他们带坏，即使是那种高智商的天才级孩子，也仍然可能被带坏的，不光是普通孩子。
高中生，正是人生中做难题的时机，高中生喜欢做做难题，挺合适的。像赵老师的学生，拿不了奥数奖项了，没必要把大部分时间投入在奥数竞赛应考上面，但是，世界不是非黑即白的，而是有很多折衷地带，很多智慧的选择的。
首先，即使对于普通优秀级高中生来说，如果他们想接触到一些比较好一点儿的数学主线知识，实际上目前也只能在奥数范围内碰到，如，初等数论，组合数学，图论。因为其他正常的中学教材里，删掉了，没有了。
其次，像赵老师的这种更加优秀级高中生，学数学的时间，仍然是比较多的，比普通学生肯定是多，也有兴趣。那么在他们这个可以投入的数学时间之内，用下面的办法，做做某几道奥数题，也仍然是可供考虑的选项，即属于我们所说的另一个示例。
这样来做：由学生自己，或者导师，选定某一道IMO奥数题，作为山顶的顶峰，是学生自己感兴趣的，或者说是导师觉得有价值的，但是，超出了学生能力还是好多，学生是不可能靠自己做出来的，否则，他就进冬令营甚至国家队了。
学生现在就可以拿这道IMO奥数题，作为PBL项目的龙头，为了达到这道奥数题，学生的研究项目就是，怎么为后继的学生，设计出一条路径，这条路径上都是题，但都有个主线，就是为了最终达到顶峰而设计的，没关系的就要删掉，别放到路边分散注意力。
这样做，就是PBL项目的价值之处，不像是读教材那样苦闷，而是比较活泛，比较容易吸引到学生的兴趣，而且，能够控制住时间，不至于像读完一本教材那样耗时过长，只有顶级小天才才能干完的那种。
国外，PBL项目做高了也能拿奖，也有那种中学生科研大奖赛，要拿名次，跟高考(名校)有关。我说的这种，起步比较容易，起步阶段跟读书类似，目前国内尚无渠道以此拿名次，但是，也相对有个好处，就是自己喜欢自己就干，有多少时间干多少，不用害怕投入太多，导致其他科目被挤时间，将来一旦没有名次，就两头落空。
我们这种想法，跟之前的博文是类似的：
对于赵老师属下级别的那些高中生来说，也许读什么内容，并不是最重要的，可以是大学教材，也可以是奥数竞赛题，更关键的恐怕是，是以PBL的方式呈现出来的，并且这个PBL项目主线龙头，正是学生自己非常希望搞清楚的。
最关键的是求知欲！
PBL项目，具有的另外一个特点，或者说好处是，符合现代教育的新哲学，即，
山型教育培养T型人才.
T型人才的说法，网上就有，大家自己查一下。山型教育，指的则是，山字的那一横，就是基础学科知识，是奠基的，而那三个竖，指的则是PBL教育方式，每个学生的PBL项目，可能都是不一样的，所以，一个班上，可能有很多个竖。
PBL项目，有个重要的环节，就是项目结束结题的时候，要做一个汇报展示。那么，山字的每一个竖，所属学生就搞的特别透，同时呢，对于其他同学的竖，又可以通过汇报展示这个过程，获得一个科普级的了解和感受。
这对于高中生，乃至于大学低年级学生，实际上是非常重要的，因为他们这个阶段，属于孔子所说的“立志”阶段，关键的不在于做什么，最关键的在于，他们的思考和活动，促进了他们将来选择做什么。
所以说，高中生们，有可能长大成人之后，真正搞的那一竖，也就是他的专长专业，不是他当初高中生课堂上的那一竖，倒很有可能是听来的别的同学的那一竖。
这样，也就真正把教学搞活了，也真正达到了高中阶段乃至大学低年级阶段的核心任务，立志选专业方向。
大学本科生阶段，在能力上还有一个核心任务。赵老师跟我讲他的教学方式的时候，谈到课堂上学生先读书，再集中答疑，我立刻插嘴到，那您的学生，实际上已经达到了大学本科生的培养目标了
不过，鉴于高中生时间有限的特点，鉴于做中学的好处，鉴于立志选专业的精神，我们把这种读书，跟PBL精神结合在一起，似为最佳，这即是本文开初，想追寻到的哲学级指导精神、方向。
我们准备把赵生初老师激发的这个教学讨论微信小群，定名为"中学数学高阶段大纲讨论群”
联系人： 研究生助教 张璇 微信号 xxxzzz_11 请向张璇表明符合我们的准入门槛，以保证我们的这个微信小群，小而精从而能够谈正事。
如果符合条件2, 正好是认识我的学术界精英们，直接微信告知我即可，不用经过张璇。
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