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深刻的定理都联系着映射。
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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。
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深刻的定理都联系着映射。
(接上回~) Boundedness of singular Fano varieties.
评论：引言共6个小节，简略介绍背景、概括主要结果。
---- 这里的“有界”不是常见的意思，另有含义（类似于给硬盘格式化，即在盘面标识上有限条磁道，每条磁道可有无限多访问点）。
---- 第1节介绍了本文的“主定理”，相当于“光明顶”。
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第一段（摘）：
1-1. A normal projective variety X is Fano if -Kx is ample and if X has log canonical singularities.
评论：X 可视作“主集合”，Kx 可视作“副集合”，后者帮助刻画前者。
---- 主配置：X~(np, lc)
---- 副配置：-Kx ~ ample
加评：第一句话，先给全篇的“主角儿”来个速写。
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第二段（摘）：
2-1. Given a smooth projective variety W with Kw not pseudo-effective, the minimal model program produces a birational model Y of W together with a Mori fibre space structure Y-->Z[5].
评论：引述了一个基本结果。
---- 主配置：W ~ sp
---- 副配置：Kw ~ not pseudo-effective
---- 结果：MMP ==> Y --> Z
简记： Wsp ~ Kw
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MMP ==> Y --> Z
注：Y 称作 W 的“双有理模型”；Y --> Z 称作 Mori 纤维空间结构。
加评：Y 可以看做 W 的“对应物”，也许更便于研究【$】。
2-2. A general fibre of Y --> Z is a Fano variety X with terminal singularities.
注：Mori空间中的纤维构成某种奇异Fano簇。
---- 构造Mori空间 等价于 “量产”此种Fano簇。
疑问：general fibre 究竟在 Y 中，还是在Z中？
作者提示：
----| Fano簇构成“双有理几何”的基本类。
----| 按个体或按族理解Fano簇是重要的。
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第三段，按维数列举Fano簇（低维）。概要：
----| 一维，只有1个Fano簇，即 lP^1。
----| 二维，有无限多Fano簇。其中：
1) 光滑Fano曲面形成有界族。
2) eps-lc奇异Fano曲面形成有界族(eps>0)[1]。
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第四段，任意维的情况（含方法）。概要：
---- 存在光滑Fano簇构成的有界族（有理曲线几何）[22]。
---- 环形eps-lc奇异Fano簇形成有界族（组合方法）[7]。
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第五段（概要）：
----| 上述结果使得Alexeev[1]和Borisov兄弟[7]猜测：在任意维，eps-lc奇异Fano簇形成有界族(eps>0)。
----| 作者将上述论断推广，称之为 BAB猜想，并证明之（定理1.1）。
注：BAB猜想是在1993~1994年提出的，作者推广猜想、并在 2016 年完成证明。
评论：猜想的形式非常简洁，是数学中典型的“好”问题。
---- BAB猜想提出22年后得到证明，而它的历史只有两个起点和一个终点。
---- 作者的选题来源也清楚了（攻猜想模式）。
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Theorem 1.1. Let d be a natural number and eps a positive real number. Then the projective varieties X such that
- (X, B) is eps-lc of dimension d for some boundary B, and
- - (Kx + B) is nef and big,
form a bounded family.
评论：作者是用“(sub)配对”的语言来表述BAB猜想的。
---- 所谓(sub)配对，就是在一定的条件下，给主集合X 引入所谓的边界 B，从而得到扩展的主集合(X, B)和扩展的副集合 Kx + B。
----- “(sub)配对”很可能是轴心概念/方法（几乎出现于一切引理、定理、推论、命题）。
---- 上面的第二个条件，把最初猜想中的 “ample” 换成了 “nef and big”，即“弱”配置。
---- 上面的两个条件合起来，可以简称为 eps-lc weak Fano，记作 EWF。
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定理1.1可简记为：EWF ~> {Xp} 有界。（方便制作卡片、帮助记忆）。
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关于配对的奇异状态或类型，以及强弱，可以分出四个象限。
lc
F | WF
ample ----- klt ----- nef&big
EF | EWF
eps-lc
注：纵向的红色字母表示三种奇异状态，横向的蓝色字母表示强弱。
---- E表示eps-lc, W 表示 weak (nef&big), F 表示 Fano.
---- 简洁起见，ample 和 lc 不在缩写中明显写出。
---- 有时也用到 KWF, 即 klt weak Fano （图中未显示）.
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剩余段落（概略）：
---- 提示eps=0时，定理1.1不能成立[25]。
---- 介绍了一些“部分结果”，列出了相应的文献（[18][23][6][11][3]）。
---- 得到推论1.2，等价于定理1.1，提及有关文献（[13][3]）。
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小结：引言第1个小标题读写完毕。（第一轮花了6天，参下方链接）。
---- 这个第二轮该是温习、压缩。
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【$】临时感悟：
---- 在高阶数学中，倾向于不直接研究某个对象，而是研究其对应物（间接路线）。
---- 原理/习惯/方法：将某数学对象映射到另一空间，通过理解它的像来理解它本身。
---- 映射不能是任意的，而是要（完全或部分地）“保持”对象的“焦点”属性。
---- 另一空间须有某种“好处”或“方便”，比如，更多工具、像的形式更简单、规律更明显、计算量更小、标准化，等等。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1150016.html
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