[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、渐近符号

   记 n 为趋于无穷大的整数变量，记 x 为趋于某一极限的连续变量。

   此外，记 φ‌(n) 或 φ‌(x) 为正 的函数，f(n) 或 f(x) 均为任意函数。哈代 Hardy 和赖特 Wright（1979）定义

   1. f = O(φ) : 意味着对于某些常数 A 以及所有的 n 和 x 取值，|f| < Aφ

   2. f = o(φ) : 意味着 f/φ → 0

   3. f ∼ φ : 意味着 f/φ → 1

   4. f ≺ φ : 与 f = o(φ‌) 相同

   5. f ≻ φ : 意味着 f/φ → ∞

   6.  : 意味着对于某些正的常数 A₁ 、A₂ ，有 A₁φ‌ < f < A₂φ

   如果 f ∼ φ ，或者等价地 f = φ + o(φ) , f = φ(1+ o(1)) , 则 f 和 φ 被认为是渐近等价的。

二、说明

   为今后不打断思路，尽力保证“大块连续时间 large continuous blocks of time”，特列出以前的相关博文网址。

   [24] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

   https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

   有该天以前的几乎全部相关博文网址。

   [23] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

   https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

   有 2026-03-27 ~ 2026-04-08 之间几乎全部相关博文网址。

   近一个多月的关于“素数”的博文，主要是杨振宁（Chen Ning Yang）老师提出的“渗透式”学习笔记。

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-30 16:59，[打听，科普，数学] 素数（50）：黎曼ζ函数，可以乘以 1/3s 吗？傻实在想不明白

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532933.html

[2] 2026-04-29 00:30，[资料，科普，数学] 素数（49）：从来没有文字发表过的著名猜想，作者自己都不知道已“发表过”——希尔伯特-波利亚猜想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532647.html

[3] 2026-04-28 00:23，[图片，科普，数学] 素数（48）：黎曼ζ函数、log 在 Critical Line 附近的对照 Wolfram 大范围

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532455.html

[4] 2026-04-27 10:09，[图片，科普，数学] 素数（47）：黎曼ζ函数及其 log 在 Critical Line 附近的对照 Wolfram

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532263.html

[5] 2026-04-26 16:17，[图片，科普，数学] 素数（46）：黎曼ζ函数 log 在 Critical Line 附近的数值 Wolfram 仿真之二60

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532193.html

[6] 2026-04-25 16:00，[图片，科普，数学] 素数（45）：黎曼ζ函数 log 在 Critical Line 附近的数值 Wolfram 仿真之二30

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532083.html

[7] 2026-04-24 00:15，[笔记，科普，数学] 素数（44）：黎曼ζ函数前4个非平凡零点千位数值

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531844.html

[8] 2026-04-23 15:56，[图片，科普，数学] 素数（43）：黎曼ζ函数在 Critical Line 附近的数值 Wolfram 仿真之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531750.html

[9] 2026-04-22 17:12，[图片，科普，数学] 素数（42）：黎曼ζ函数零点与素数计数函数π(x)的 Wolfram 仿真之一 （关联：端点效应）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531595.html

[10] 2026-04-21 16:59，[图片，科普，数学] 素数（41）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之三

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531430.html

[11] 2026-04-20 21:26，[图片，科普，数学] 素数（40）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应之二

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531246.html

[12] 2026-04-19 20:34，[图片，科普，数学] 素数（39）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之二

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531058.html

[13] 2026-04-18 21:05，[图片，科普，数学] 素数（38）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530979.html

[14] 2026-04-17 21:28，[笔记，科普，数学] 素数（37）：“黎曼假设/猜想”与素数计数函数 prime counting function

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530901.html

[15] 2026-04-16 22:08，[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530752.html

[16] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html

[17] 2026-04-14 13:17，[图片，科普，数学] 素数（34）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（最后5页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530338.html

[18] 2026-04-13 16:04，[图片，科普，数学] 素数（33）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（中间10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530221.html

[19] 2026-04-12 23:52，[图片，科普，数学] 素数（32）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（前10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530075.html

[20] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[21] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[22] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[23] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[24] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[25] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[26] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[27] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[28] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[29] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

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