Yet, in fact, as I shall show here with very good reasons, the properties of the numbers known today have been mostly discovered by observation, and discovered long before their truth has been confirmed by rigid demonstrations.

   ——Leonhard Paul Euler

   事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、数计数函数 prime counting function 图片 <1,000,000 

图1  pi100.gif

https://t5k.org/gifs/pi100.gif

图2  primecounter 100.jpg

https://thatsmaths.com/wp-content/uploads/2014/02/primecounter.jpg

图3  Prime Counting Function Wolfram 11

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/PrimeCountingFunction_800.svg

图4  pi1000.gif

https://t5k.org/gifs/pi1000.gif

图5  prime_counting_graph.png

https://www.lesh.cloud/primes/prime_counting_graph.png

图6  unnamed-chunk-8-1.png

https://charlie-spackman.rbind.io/post/2018-07-16-prime-counting-functions-in-r_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png

图7  unnamed-chunk-9-1.png

https://charlie-spackman.rbind.io/post/2018-07-16-prime-counting-functions-in-r_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.png

图8  pi1000000.gif

https://t5k.org/gifs/pi1000000.gif

二、说明

   为今后不打断思路，尽力保证“大块连续时间 large continuous blocks of time”，特列出以前的相关博文网址。

   [13] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

   https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

   有该天以前的几乎全部相关博文网址。

   [1] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

   https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

   有 2026-03-27 ~ 2026-04-08 之间几乎全部相关博文网址。

   近一个多月的关于“素数”的博文，主要是杨振宁（Chen Ning Yang）老师提出的“渗透式”学习笔记。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

[2] 知乎，2023-05-13，π(n)|素数计数函数

https://zhuanlan.zhihu.com/p/509771255

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[2] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html  

[3] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html  

[4] 2026-04-05 19:32，[打听，科普，数学] 素数（25）：对黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529015.html

[5] 2026-04-04 21:18，[打听，科普，数学] 素数（24）：素数分布频率与泊松 Poisson 分布、正态分布 normal 的对照

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528912.html

[6] 2026-04-03 20:40，[笔记，科普，数学] 素数（23）：一些尚未解决的问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528823.html

[7] 2026-04-02 21:50，[笔记，科普，数学] 素数（22）：布尔巴基 Bourbaki 几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528617.html

[8] 2026-04-01 18:43，[笔记，科普，数学] 素数（21）：柯尔莫哥洛夫 Колмого́ров Kolmogorov 几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528444.html

[9] 2026-03-31 21:45，[笔记，科普，数学] 波利亚 George Pólya, György Pólya 杂记

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528271.html

[10] 2026-03-30 21:14，[笔记，科普，数学] 波利亚 George Pólya, György Pólya 名言之二（2nd）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528093.html

[11] 2026-03-29 20:37，[笔记，科普，数学] 波利亚 George Pólya, Pólya György 名言之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527916.html

[12] 2026-03-28 20:36，[笔记，科普，数学] 素数（20）：希尔伯特－波利亚猜想 Hilbert–Pólya conjecture

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527807.html

[13] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[14] 2026-03-21 21:06，[图片，科普，数学] 希尔伯特手稿图片：谈数学公式、数学对象、数学定理

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526801.html

[15] 2026-03-20 14:20，[资料，科普，数学] 希尔伯特的第 8问题 prime number 英文版（1902年，美国数学会）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526604.html

[16] 2026-03-19 14:45，[汇集，科普，数学] 1900年希尔伯特的 23个问题（英文版，简版）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526445.html

[17] 2026-03-18 17:13，[笔记，科普，数学] 希尔伯特的第24问题，时代限制的遗憾

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526321.html

[18] 2026-03-17 22:43，[笔记，科普，数学] 素数（13）：希尔伯特问题里的“哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526196.html

[19] 2025-08-19 21:48，[资料，科普] 量子力学的哥本哈根诠释（9）：希尔伯特、哥德尔、普朗克、爱因斯坦的感慨

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1498354.html

[20] 2022-08-02 16:23，[求助] 希尔伯特“物理对于物理学家来说实在是太难了!”的出处

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349735.html

[21] 2016-03-01 14:07，柯西、高斯；庞加莱，希尔伯特：四位数学大牛

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-959695.html

[22] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[23] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[24] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[25] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[26] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

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