[笔记，科普，数学] 希尔伯特的第24问题，时代限制的遗憾

   But when it comes to penetrating insight, only a few of the very greatest were the equal of Hilbert.

   但说到洞察力，只有少数最伟大的人能与希尔伯特相提并论。

   这是希尔伯特的学生 Otto Blumenthal 对希尔伯特的评价。

一、希尔伯特的第24个问题，德文原文

   Als 24stes Problem in meinem Pariser Vortrag wollte ich die Frage stellen: Kriterien für die Einfachheit bez. Beweis der grössten Einfachheit von gewissen Beweisen führen. Ueberhaupt eine Theorie der Beweismethoden in der Mathematik entwickeln. Es kann doch bei gegebenen Voraussetzungen nur einen einfachsten Beweis geben. Ueberhaupt, wenn man für einen Satz 2 Beweise hat, so muss man nicht eher ruhen, als bis man sie beide aufeinander zurückgeführt hat oder genau erkannt hat, welche verschiedenen Voraussetzungen (und Hilfsmittel) bei den Beweisen benutzt werden: Wenn man 2 Wege hat, so muss man nicht bloss diese Wege gehen oder neue suchen, sondern dann das ganze zwischen den beiden Wegen liegende Gebiet erforschen. Ansätze, die Einfachheit der Beweise zu beurteilen, bieten meine Untersuchungen über Syzygien und Syzygien zwischen Syzygien. Die Benutzung oder Kenntnisse einer Syzygie vereinfacht den Beweis, dass eine gewisse Identität richtig ist, erheblich. Da jeder Process des Addierens Anwendung des commutativen Gesetzes der Addition ist—dies immer geometrischen Sätzen oder logischen Schlüssen entspricht, so kann man diese zählen und z. B. beim Beweis bestimmter Sätze in der Elementargeometrie (Pythagoras oder über merkwürdige Punkte im Dreieck) sehr wohl entscheiden, welches der einfachste Beweis ist. 

   【机器翻译】作为我在巴黎演讲中的第24个问题，我想提出一个问题：简单性的标准。最简单的证明导致某些证据。在数学中开发证明方法的理论。在给定的条件下，只能有最简单的证据。总之，如果你有证据证明两句话，你不需要休息，直到你把它们放在一起，或者准确地认识到它们。在证明中使用哪些不同的前提（和工具）：如果你有两条路，你不必只是走这些路或寻找新的路，然后探索两条路之间的整个区域。评估证据简单性的方法提供了我对Syzygies和Syzygies之间Syzygies的研究。使用或了解Syzygie大大简化了证明某种身份是正确的。由于加法的每一个过程都是加法交换定律的应用，这总是对应于几何定律或逻辑结论，因此可以计算它们，例如：例如，在证明元素几何学中的某些定理（毕达哥拉斯或三角形中的奇怪点）时，很好地决定哪个是最简单的证明。 

二、希尔伯特的第24个问题，从德文翻译成英文

   The 24th problem in my Paris lecture was to be: Criteria of simplicity, or proof of the greatest simplicity of certain proofs. Develop a theory of the method of proof in mathematics in general. Under a given set of conditions there can be but one simplest proof. Quite generally, if there are two proofs for a theorem, you must keep going until you have derived each from the other, or until it becomes quite evident what variant conditions (and aids) have been used in the two proofs. Given two routes, it is not right to take either of these two or to look for a third; it is necessary to investigate the area lying between the two routes. Attempts at judging the simplicity of a proof are in my examination of syzygies and syzygies between syzygies. The use or the knowledge of a syzygy simplifies in an essential way a proof that a certain identity is true. Because any process of addition [is] an application of the commutative law of addition etc. [and because] this always corresponds to geometric theorems or logical conclusions, one can count these [processes], and, for instance, in proving certain theorems of elementary geometry (the Pythagoras theorem, [theorems] on remarkable points of triangles), one can very well decide which of the proofs is the simplest.

三、随感：时代的限制

   希尔伯特第24问题“The simplicity of proofs (omitted). 证明的简单性（删除）”，在1900年，还是被删除了。

   这是人类进步受制于所处历史时期限制的一个典型例子。

   想想后面：

  3.1  哥德尔，关于证明的长度，1936；1956给冯诺依曼关于“P versus NP, P 对 NP”的信件

   K. Gödel, “Über die Länge von Beweisen”, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, (1936), pp. 23–24.

   K. Gödel, Letter to von Neumann, 1956.

3.2  图灵，1936年的“图灵机，Turing machines”

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=352220

   图灵机 (Turing machine, TM) 是一种精确的通用计算机模型，能模拟实际计算机的所有计算行为。

3.3  柴廷定理 Chaitin，1966年

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1327564.html

3.4  数字计算机的计算复杂性 P versus NP (P vs NP)

   The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/

   希尔伯特第 24问题实在太超前了。删除，实在太可惜了。

   引领数学过程的机械化，信息社会的数学基础，……，就这样与希尔伯特擦肩而过了。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，希尔伯特问题

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=290951

[2] 科普中国，2021-12-31，图灵机

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=352220

[3] 科普中国，2020-11-16，千年之谜（三）P与NP问题：改变世界格局的神秘钥匙

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=49254

[4] 科普中国，2024-06-18，P/NP问题50年：基础理论举步维艰，但AI正在不可能中寻找可能

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=503236

   撰文 | Lance Fortnow（伊利诺斯理工学院计算机学院教授）

   译自Fortnow, Lance. "Fifty years of P vs. NP and the possibility of the impossible." Communications of the ACM 65.1 (2021): 76-85. DOI: 10.1145/3460351

[5] 科普中国，2021-12-31，NP完全问题

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=364320

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-17 22:43，[笔记，科普，数学] 素数（13）：希尔伯特问题里的“哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526196.html

[2] 2025-08-23 20:42，[资料，科普] 量子力学的哥本哈根诠释（13）： 希尔伯特 David Hilbert 与数学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1498842.html  

[3] 2025-08-19 21:48，[资料，科普] 量子力学的哥本哈根诠释（9）：希尔伯特、哥德尔、普朗克、爱因斯坦的感慨

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1498354.html

[4] 2023-04-06 18:22，[打听] 希尔伯特第十六问题：院士与研究生

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1383219.html

[5] 2016-3-1 14:07，柯西、高斯；庞加莱，希尔伯特：四位数学大牛

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-959695.html  

[6] 2022-02-19 17:05，[科普 + 备课] 哥德尔不完全性定理（1931年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1326086.html

[7] 2022-03-01 14:17，[科普 + 备课] Chaitin定理（1966年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1327564.html

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