追求真理，需要有特殊的勇气。

追求科学，需要有特殊的勇气。

[打听] 希尔伯特第十六问题：院士与研究生

一、起因

   《张景中院士、彭翕成著. 数学哲学[M]. 2017》第 180页写到：

   “前苏联数学家彼得洛夫斯基院士，在常微分方程定性理论方面有一个著名的结果。而这个结果在多年后被中国的一位研究生用反例推翻了。”

图1  张景中，彭翕成著. 数学哲学[M]. 2017，第 180、181 页局部

   网上查找了一些资料，如下：

二、希尔伯特第十六问题 Hilbert's sixteenth problem

    代数曲线与曲面的拓扑。这问题分两部分：第一部分，代数曲线和曲面的封闭分支的数目及其相互位置。希尔伯特关于6次平面曲线的推测已有反例。整个问题尚未解决。第二部分，极限环的数目。尚未解决。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=418952&Type=bkzyb&SubID=61734

   Problem of the topology of algebraic curves and surfaces.

   Even in its original formulation, this problem splits into two parts.

   First, the topology of real algebraic varieties. For instance, an algebraic real curve in the projective plane splits up in a number of ovals (topological circles) and the question is which configurations are possible. For degree six this was finally solved by D.A. Gudkov (1970; see Real algebraic variety).

   The second part concerns the topology of limit cycles of dynamical systems (see Limit cycle). A first problem here is the Dulac conjecture on the finiteness of the number of limit cycles of vector fields in the plane. For polynomial vector fields this was settled in the positive sense by Yu.S. Il'yashenko (1970). See [a3], [a22], [a23], [a39].

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hilbert_problems#Hilbert.27s_sixteenth_problem

三、希尔伯特第十六问题：彼得洛夫斯基院士与研究生

   希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基（I. G. Petrovsky）与兰迪斯（E. M. Landies）解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年，中国科学技术大学研究生史松龄，南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例，彻底推翻了二人的证明 。因此第十六问题至今仍未解决。

https://wordsimilarity.com/zh/%E5%85%AD%E9%97%AE  

   （16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

   此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到NN(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

希尔伯特提出的23个数学问题，中国科普博览

http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/4/41/4_41_1002.htm

图2  彼得洛夫斯基院士 Иван Георгиевич Петровский, Ivan Georgievich Petrovsky, 1901-01-18 ~ 1973-01-15

https://bryanskwiki.ru/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%98%D0%B2%D0%B0%D0%BD_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87#/media/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Petrovsky,_Ivan_Georgievich.jpg

https://bryanskwiki.ru/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%98%D0%B2%D0%B0%D0%BD_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87

图3  1959年6月，莫斯科大学校长、著名数学家彼得洛夫院士祝贺谷超豪获得博士学位。

谷超豪：我国数学家、中国科学院院士，2009年度国家最高科学技术奖得主。

http://thepaper-prod-oldimagefromnfs.oss-cn-shanghai.aliyuncs.com/image/4/744/371.jpg

https://m.thepaper.cn/newsDetail_forward_1420719

图4  彼得洛夫斯基

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/images/petrovsky.jpg

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Petrovsky

图5  彼得洛夫斯基

http://letopis.msu.ru/sites/default/files/images/Petrovsky%20IG.jpg

http://letopis.msu.ru/peoples/1380

单纯的数学理论证明，未必真的可靠。

上面搜集来的资料，不知道有没有张冠李戴？

感谢您的指正！！

历史表明，数学不能归结为逻辑。

Any proof is relative, since it is based on certain unprovable assumptions.

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Proof

还有

Morris·Kline 的《古今数学思想 Mathematical thought:from ancient to modern times》。

参考资料：

[1] 2022-12023，希尔伯特问题/Hilbert’s problems/胡作玄，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=418952&Type=bkzyb&SubID=61734

[2] 科普中国，2021-12-31，希尔伯特问题

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=1&ar_id=290951

[3] 科普中国，2021-12-31，希尔伯特第16问题

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=1&ar_id=261505

   20世纪70年代末，史松龄以及陈兰荪、王明淑等给出了具有不少于四个极限环的二次系统（其一个奇点外至少有三个，另一奇点外至少有一个）。现状至今尚未能证明二次系统最多只能有四个极限环。

[4] Hilbert problems, Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hilbert_problems

[5] David Hilbert's 24 Problems, 

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Hilbert_Problems/

[6] Hilbert’s 23 problems, 

https://www.britannica.com/science/Hilberts-23-problems

[7] Weisstein, Eric W. "Hilbert's Problems." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/HilbertsProblems.html

[8] Ivan Georgievich Petrovsky, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Petrovsky/

[9] 哆嗒数学网，2022-11-21，张益唐零点问题论文会是什么结果？

https://mp.weixin.qq.com/s/CHooIbk15-qvTcFS9uSqeQ

[10] 知乎，2019，数学史上有哪些曾被公认已证明的定理被反例或更严格的证明证否的例子？

https://www.zhihu.com/question/327219702/answer/701289346?utm_id=0

[11] 王晶晶, 杨正瓴. 累积正态分布函数的逼近函数综述[J]. 计算机应用, 2014, 34(S2): 83-84, 90.

doi:  1001-9081( 2014) S2-0083-02

http://www.cqvip.com/QK/94832X/2014A02/663296953.html

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JSJY2014S2024.htm

[12] Zhengling Yang, Zhifeng Duan, Jingjing Wang, Teng Wang, Yanwen Song, Jun Zhang. Quadratic radical function better than Fisher z transformation [J]. Transactions of Tianjin University, 2013, 19(5): 381–384.

https://doi.org/10.1007/s12209-013-1978-8

https://link.springer.com/article/10.1007/s12209-013-1978-8

[13] Zheng-Ling Yang, Yan-Wen Song, Zhi-Feng Duan, Teng Wang, Jun Zhang. New Sigmoid-like function better than Fisher z transformation [J]. Communications in Statistics - Theory and Methods, 2016, 45(8): 2332-2341.

DOI: 10.1080/03610926.2013.771750

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2013.771750?journalCode=lsta20

相关链接：

[1] 2023-04-05，[讨论，擂台] 比真随机数更好的伪随机数（以[0,1] 区间上的均匀分布随机数为例）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1383089.html

[2] 2023-01-12，[阅读笔记] “证明了一个数学大问题”之后的 8 类走向（结果）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1371682.html

[3] 2023-01-13，[？？？] 为什么在“四色问题 The four colour theorem”上长期不肯吱声？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1371830.html

[4] 2023-03-01，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1378486.html

[5] 2022-06-23，往日（11）之二：比 Fisher Z Transformation 更好：细节与相关的历史资料

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1344208.html

[6] 2022-06-21，往日（11）：比 Fisher Z Transformation 更好的标准正态分布累积分布erf逼近函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1343914.html

[7] 2012-08-17，胜过 Fisher z 变换！（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-603297.html

[8] 2013-01-29，胜过 Fisher z 变换！（2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-657534.html

[9] 2023-02-28，[微信群贴出] 2023-02-26 10:24:56 无限满二分树（prefect binary tree）不是平面图的优先权（？）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1378340.html

[10] 2022-10-01，[求助] 德国马普所物理学家“这个世界上80％的物理学家根本不懂物理。”的出处

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1357610.html

[11] 2022-08-02，[求助] 希尔伯特“物理对于物理学家来说实在是太难了!”的出处

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349735.html

[12] 2022-10-19，[想不明白] 几十页、上百页长的数学证明，真的可靠吗？（阿诺德、Chaitin

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1360078.html

[13] 2022-10-14，[小资料] 阿诺德原理、复杂的模型几乎毫无用处：出自 1998年《On teaching mathematics》

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1359459.html

[14] 2020-03-20，破除论文“SCI至上”：弗拉基米尔·阿诺德1995年的几句话

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1224424.html

[15] 2022-03-03，[求助] 普朗克 Planck “取决于人类认识能力的局限性”的出处

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1327900.html

[16] 2020-08-06，[求助] Theodore von Karman（冯·卡门）1963年一句话的翻译

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1245224.html

[17] 2015-03-30，[求助] 哥德尔（Kurt Gödel ）一句话的英文原文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-878552.html

[18] 2023-02-11，[随笔] “P对NP, P vs NP, P versus NP” Problem 问题：问题与求解方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1375792.html

   加强集合论能力的一个具体工作，就是用“更小的差别”来取代“幂集公理 Axiom of power set”。寻找比多项式更小的独立关系。

[19] 2022-06-10，[请教] P对NP（二）：结果的相对性与“1+3”种证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342404.html

[20] 2017-07-09，[随感] 物理学是物理学；数学是数学。物理学不能归结为数学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1065389.html

   历史表明，数学不能归结为逻辑。

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