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[科普 + 备课] 哥德尔不完全性定理(1931年)

已有 5218 次阅读 2022-2-19 17:05 |个人分类:基础数学-逻辑-物理|系统分类:科研笔记

[科普 + 备课] 哥德尔不完全性定理(1931年)

      

   今年春节,心情是复杂的。有时“也拟哭途穷”,也快“死灰吹不起。”更多的是“中间多少真傻泪”,“江晚正愁予,山深闻鹧鸪。”

                    

一、哥德尔不完全性定理

Kurt Godel (1906-1978).jpg

Kurt Gödel, 1906-04-28 ~ 1978-01-14

        

   Kurt Friedrich Gödel(库尔特·弗里德里希·哥德尔)1931年发表的《Ueber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I》,网上比较准确的学术性介绍似乎并不多。与之有关的“神秘化”介绍似乎更多。

   汉语介绍“哥德尔不完全性定理”,以1993年杨东屏老师的《哥德尔不完全性定理剖析》比较专业。英文的则是欧洲数学会网站《Encyclopedia of Mathematics 数学百科全书》最为准确和通俗。

   

   我就不啰嗦了。

   《Encyclopedia of Mathematics 数学百科全书》对“哥德尔不完全性定理概述的截图:

Godel incompleteness theorem 11 22.jpg

https://encyclopediaofmath.org/wiki/G%C3%B6del_incompleteness_theorem

     

   哥德尔第一不完全性定理的主要含义:

Godel's first incompleteness theorem proved 11.jpg

         

   哥德尔第二不完全性定理的主要含义:

Goel's second incompleteness theorem gives 22.jpg

              

二、爱因斯坦论“实验与逻辑“

   详见2015年《科学网》博文专题:爱因斯坦的回信。

《科学网》博文专题:爱因斯坦的回信.jpg

https://news.sciencenet.cn/news/sub26.aspx?id=2201

                 

   1953年4月23日爱因斯坦写给斯威泽(J.S. Switzer)的回信里说:“西方科学的发展是建立在两项重大成就的基础上的:希腊哲学家们(在欧几里德几何学中)发明的形式逻辑体系,和(文艺复兴时期)发现的通过系统实验找到因果关系的可能性。”

   所以,

   我们总得学点逻辑吧?

          

   据说莱布尼兹将形式逻辑发展到数理逻辑。在我们使用具体的逻辑时,注意到逻辑方法自身的局限性应该不是坏事。

   但愿没有吓死人!

                          

三、1931年开始的演绎逻辑新进展

   (1)1931年的哥德尔不完全性定理,

   (2)1966年的Chaitin定理。

   (3)感谢您指出更新的进展。

           

   逻辑(logic)是思维的规律和规则。

   逻辑包括形式逻辑和数理逻辑(符号逻辑)。形式逻辑包括归纳逻辑与演绎逻辑。

   概念的内涵和外延:往往内涵越丰富,外延就越小;反之,内涵越简单,外延就越大。

            

   演绎逻辑受到哥德尔不完全性定理和Chaitin定理的限制。

         

   据说哥德尔说:“没有一个在特定分辨率层次上形成的知识系统,能够完全解释那个层次,必须具有一个高层元知识才能完全解释它。然而,当我们着手去构造这个更一般的元知识时,它也要求更高一层的元-元知识去解释它。[求原文的出处]

   

   《论语·卫灵公》里孔子老师说:“工欲善其事,必先利其器。”

   这和 1966年的Chaitin定理很类似:强调具体的“能行”与“不能行”,与采用的具体工具有关。

          

   老子《道德经》第五十四章:“故以身观身,以家观家,以乡观乡,以国观国,以天下观天下。吾何以知天下然哉?以此”。

   和哥德尔上面的观点以及1966年的Chaitin定理也很类似:工具能力强了,“能行”的也就多了。

           

权威链接:

[1] 2015,《科学网》博文专题:爱因斯坦的回信

https://news.sciencenet.cn/news/sub26.aspx?id=2201

https://blog.sciencenet.cn/blog.php?mod=subject&id=223

参考资料:

[1] 杨东屏.哥德尔不完全性定理剖析[J].曲阜师范大学学报:自然科学版,1993,19(1):31-36. 被引量:1 

[2] Martin Davis 马守全(译) 高燕芳(校) 陆柱家(校).不完全性定理[J].数学译林,2008,27(2):132-137.

[3] Gödel incompleteness theorem. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/G%C3%B6del_incompleteness_theorem

[4] Gödel’s Incompleteness Theorems, Stanford Encyclopedia of Philosophy

https://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

[5] Gödel’s incompleteness theorems - Encyclopedia Britannica

https://www.britannica.com/topic/history-of-logic/Development-of-model-theory

[6] Kurt Gödel, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Godel/

[7] 逻辑(思维的规律和规则) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E9%80%BB%E8%BE%91/543

[8] 王宪钧. 数理逻辑引论[M]. 北京:北京大学出版社,1982.

相关链接:

[1] 2010-03-09,逻辑方法的局限性:Gödel incompleteness theorem和Chaitin theorem

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301287.html

[2] 2011-08-21,俗解Chaitin定理

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-478066.html

[3] 2015-03-30,[求助] 哥德尔(Kurt Gödel )一句话的英文原文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-878552.html

[4] 2010-03-10,逻辑方法的局限性:元知识、乌龟塔与盲人摸象

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301534.html

[5] 2013-06-30,因果性与逻辑

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-703983.html

[6] 2013-09-07,逻辑能力与数理科学创新小议

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-738568.html

[6-2] 逻辑能力与数理科学创新小议[J]. 科技导报, 2014, 32(1): 88-88.

http://www.kjdb.org/CN/abstract/abstract11234.shtml

[7] 2021-05-05,[老照片] 哥德尔和爱因斯坦在普林斯顿散步,1954年

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1285132.html

[8] 2009-02-23,怎么翻译爱因斯坦谈科学起源

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-216696.html

[9] 2021-08-05,[备课] 电容、电感、电阻的电路模型(“场”是“路”的基础)

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1298456.html

[10] 2021-12-07,[备课?答疑?笔记?] 结点电压法里的电压和电流方向

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1315545.html

[11] 2021-03-05,[备课的随想] 模糊控制为什么成功?

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1275148.html

[12] 2020-03-19,[讨论] 两种真正实用的自动控制技术:PID、模糊控制

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1224280.html

                   

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