为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   图难乎其易也，为大乎其细也。天下之难作于易，天下之大作于细。

—— 《老子五千言》第63章

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（150）：与欧拉ζ(s)对照，黎曼解析延拓后的 ζ(s) ，到底有哪些具体的变化？(1)

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、黎曼解析延拓后 ζ(s)

图1  原始的欧拉 ζ(s) 推广到复数域，收敛域仍然是 σ > 1 ？

图2  欧拉 ζ(s) 的素数表示，

乘积引入了比“算术基本定理”更多的正整数信息

图3  黎曼解析延拓后的 ζ(s），除了极点 s=1 之外，在其余复平面收敛

图4  黎曼解析延拓后的 ζ(s），除了极点 s=1 之外，在其余复平面收敛

二、打听：与欧拉的 ζ(s) 对照，黎曼解析延拓后的 ζ(s) 到底有哪些变化？

   这大概是真正理解“黎曼假设”的关键步骤之一。

   （1）保持欧拉 ζ(s) 公式的形式不变，无论在实数域、还是复数域，都要求无穷级数 ζ(s)  的收敛域  Re s > 1 ？

   （2）一旦改变了实数函数的形式，即，用 η(s) 表示出的实数级数欧拉 ζ(s)，收敛域却扩大到 s > 0？

   （3）在复数域进一步解析延拓后的黎曼 ζ(s)，收敛域扩大整个复平面，除了极点 s = 1 之外。当然，还是函数的形式发生了变化。

   这到底是为什么？

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-08-08 23:27，[笔记，科普，数学] 素数（149）：黎曼解析延拓后 ζ(s) 的收敛域

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1547068.html

[2] 2026-08-07 23:49，[笔记，科普，数学] 素数（148）：欧拉 ζ(s) ，用 η(s) 表示出，以及 s 扩展为复数时的收敛域的变化

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546946.html

[3] 2026-06-29 00:34，[打听，科普，数学] 素数（109）：欧拉用 η函数表示实数域的 ζ 函数，收敛域扩展到了 (0, 1)+(1, +∞)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541357.html

[4] 2026-07-06 23:52，[打听，科普，数学] 素数（116）：实数域的欧拉乘积，有没有零点？用 Eta Function 表示之后呢？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542502.html

[5] 2026-07-29 23:00，[笔记，科普，数学] 素数（139）：ζ 函数与欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545709.html

[6] 2026-07-07 22:03，[打听，科普，数学] 素数（117）：是否存在“非欧拉乘积”的含所有素数的因式分解公式？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542655.html

[7] 2026-08-06 02:22，[笔记，科普，数学] 素数（147）：仿真，从黎曼 J(x) 根据非平凡零点反演出 π(x) （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546701.html

[8] 2026-08-05 23:27，[打听，科普，数学] 素数（146）：怎么理解黎曼 1859年论文第675页 logζ(s) 的推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546698.html

[9] 2026-08-03 20:41，[笔记，科普，数学] 素数（144）：黎曼假设能给出“精确的”素数计数函数吗？1859年论文第675、678页局部截图

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546359.html

[10] 2026-08-02 23:46，[笔记，科普，数学] 素数（143）：黎曼 ζ函数非平凡零点与素数位置的一些仿真结果（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546212.html

[11] 2026-08-01 23:51，[笔记，科普，数学] 素数（142）：“欧拉乘积 Euler product”引入了比算术基本定理更多的多余项（2）？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546109.html

[12] 2026-07-31 22:33，[笔记，科普，数学] 素数（141）：欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）引入了比算术基本定理更多的多余项？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545990.html

[13] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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[14] 2026-08-03 23:24，素数全部博文网址（2026-07）七月份（31篇）

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[15] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[21] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

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[23] 2024-11-19 22:49，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得、高斯对“算术基本定理”研究的有效性

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[26] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

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[27] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

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