为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（139）：ζ 函数与欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）（1）

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

一、欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）的一个推导

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

二、里面有没有“黎曼假设困难性、不确定性的起因”？

参考资料：

[1] 马世验 生命科学和医学学部，中国科学院院士文库

https://yswk.csdl.ac.cn/ys_detail?casid=1980C16

[2] 战胜千年蝗灾的中国攻略，2024-08-09，中国科学院

https://www.cas.cn/zt/sszt/75yq/zlzq/202409/t20240913_5031754.shtml

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-07 22:03，[打听，科普，数学] 素数（117）：是否存在“非欧拉乘积”的含所有素数的因式分解公式？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542655.html

[2] 2026-07-06 23:52，[打听，科普，数学] 素数（116）：实数域的欧拉乘积，有没有零点？用 Eta Function 表示之后呢？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542502.html

[3] 2026-06-29 00:34，[打听，科普，数学] 素数（109）：欧拉用 η函数表示实数域的 ζ 函数，收敛域扩展到了 (0, 1)+(1, +∞)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541357.html

[4] 2026-05-15 23:16，[打听，科普，数学] 素数（65）：欧拉乘积 Euler product 的推导随想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535032.html

[5] 2026-05-14 21:43，[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534869.html

[6] 2026-05-13 22:35，[笔记，科普，数学] 素数（63）：欧拉乘积 Euler product 推导中存在哪些可能的隐患？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534734.html

[7] 2026-05-12 22:43，[笔记，科普，数学] 素数（62）：欧拉乘积 Euler product 在实数范围内

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534583.html

[8] 2026-07-28 23:01，[笔记，科普，数学] 素数（138）：从马世骏院士治理蝗虫到黎曼假设

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545566.html

[9] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545265.html

[10] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542143.html

[11] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537749.html

[12] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537747.html

[13] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537745.html

[14] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html

[15] 2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1501040.html

[16] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1378486.html

[17] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1442702.html

[18] 2024-11-19 22:49，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得、高斯对“算术基本定理”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460799.html

[19] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[20] 2024-11-15 22:52，[数学文化] 数学研究的“客观派”正式成立！

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460209.html

[21] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1443609.html

[22] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1487066.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！

支持单位：