调查就是解决问题

   你对于那个问题不能解决吗？那末，你就去调查那个问题的现状和它的历史吧！你完完全全调查明白了，你对那个问题就有解决的办法了。一切结论产生于调查情况的末尾，而不是在它的先头。

—— 一位真正的大专家

   预测数学未来的真正方法是研究它的历史和现状。

   The true method of foreseeing the future of mathematics is to study its history and its actual state.

—— 庞加莱 Jules Henri Poincaré, 1908

   我得到我的结果已经有了很长一段时间：但我还不知道如何得出这些结果。

   I have had my results for a long time: but I do not yet know how I am to arrive at them.

—— 高斯 Johann Carl Friedrich Gauss

[打听，科普，数学] 素数（116）：实数域的欧拉乘积，有没有零点？用 Eta Function 表示之后呢？

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

一、实数域的欧拉乘积，有没有零点？

   实数域上‌欧拉乘积表达式本身在收敛域（s>1）内无零点？

图1  原始的欧拉 ζ 函数的收敛域为 s>1。或表示为 (1, +∞)

二、实数域的欧拉乘积，用 Eta Function 表示之后，有没有零点？

   η(s)（Dirichlet Eta Function）‌：全实数域‌无零点‌？

图2  欧拉将用 η函数表示实数域的 ζ 函数的收敛域推广到了(0, 1)+(1, +∞)

实在看不懂啊！

图3  忍不住贴图：马灯[mǎ dēng]，手提式防风防雨煤油灯

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以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-06-29 00:34，[打听，科普，数学] 素数（109）：欧拉用 η函数表示实数域的 ζ 函数，收敛域扩展到了 (0, 1)+(1, +∞)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541357.html

[2] 2026-05-15 23:16，[打听，科普，数学] 素数（65）：欧拉乘积 Euler product 的推导随想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535032.html

[3] 2026-05-14 21:43，[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534869.html

[4] 2026-05-13 22:35，[笔记，科普，数学] 素数（63）：欧拉乘积 Euler product 推导中存在哪些可能的隐患？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534734.html

[5] 2026-05-12 22:43，[笔记，科普，数学] 素数（62）：欧拉乘积 Euler product 在实数范围内

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534583.html

[6] 2026-07-05 22:56，[留念，科普，数学] 素数（115）：千问的评论：关于默比乌斯函数 Möbius function 与素数之间的关系

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542347.html

[7] 2026-07-04 16:54，[资料，科普，数学] 素数（114）：默比乌斯函数 Möbius function，前 190 个具体数值

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542198.html

[8] 2026-07-03 20:55，[打听，科普，数学] 素数（113）：默比乌斯函数 Möbius function 前 78 个数值

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542123.html

[9] 2026-07-02 20:52，[打听，科普，数学] 素数（112）：从黎曼 J(x) 计算出 π(x)，有哪几种具体的方法？特别是不用 Möbius 函数的具体方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541991.html

[10] 2026-06-28 00:41，[打听，科普，数学] 素数（108）：从黎曼 ζ 函数只能推导出 J(x) ？不能直接推导出 π(x) ？（实在看不懂）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541257.html

[11] 2026-06-25 23:31，[打听，科普，数学] 素数（105）：J(x) 与 π(x) 之间的关系（实在看不懂）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1540962.html

[12] 2026-06-22 21:42，[打听，科普，数学] 素数（102）：计算 Möbius Function 之前必须先知道素数吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1540480.html

[13] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[14] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[15] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[16] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[17] 2024-11-25 22:49，[留念，树犹如此，独怆然而涕下] 新一页：2024-11-25。Zenas 定理、公理、论题

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