为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、打听：欧拉乘积 Euler product 推导是怎么回事？

https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EulerProduct/NumberedEquation1.svg  

   上面是网上的一个推导。里面有些内容，我看不明白：

……

当  →∞ 时，

 怎么办？

二、打听：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-05-13 22:35，[笔记，科普，数学] 素数（63）：欧拉乘积 Euler product 推导中存在哪些可能的隐患？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534734.html

[2] 2026-05-12 22:43，[笔记，科普，数学] 素数（62）：欧拉乘积 Euler product 在实数范围内

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534583.html

[3] 2026-05-11 21:44，[笔记，科普，数学] 素数（61）：解析延拓 analytic continuation 与两个气象观测站共享数据

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534422.html

[4] 2026-05-10 23:31，[笔记，科普，数学] 素数（60）：解析延拓 analytic continuation 与黎曼ζ函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534267.html

[5] 2026-05-09 20:18，[笔记，科普，数学] 素数（59）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （6）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534145.html

[6] 2026-05-08 20:48，[笔记，科普，数学] 素数（58）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （5）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533979.html

[7] 2026-05-07 21:58，[笔记，科普，数学] 素数（57）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （4）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533818.html

[8] 2026-05-06 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（56）：素数计数函数 prime counting function 相关不等式（2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533641.html

[9] 2026-05-05 21:13，[笔记，科普，数学] 素数（55）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （3）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533485.html

[10] 2026-05-04 20:35，[笔记，科普，数学] 素数（54）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533363.html

[11] 2026-05-03 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（53）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533274.html

[12] 2026-05-02 19:58，[笔记，科普，数学] 素数（52）：素数计数函数 prime counting function 及相关不等式（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533169.html

[13] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533059.html

[14] 2026-04-30 16:59，[打听，科普，数学] 素数（50）：黎曼ζ函数，可以乘以 1/3s 吗？傻实在想不明白

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532933.html

[15] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学]素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10²⁷ （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

   26  1699246750872437141327603

   27  16352460426841680446427399

[16] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

   有该天以前的几乎全部相关博文网址。

[17] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[18] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[19] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

[20] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html

一、所有的数学证明都是演绎法

   除了直接的“演绎推理”之外，完全归纳法被认为是演绎推理的逆向归纳法。

   数学归纳法 Mathematical Induction，是一类特殊形式的完全归纳法。

2.2  演绎

   由一般性命题（前提）推出特殊性命题（结论）的逻辑方法。与归纳法相对。又称演绎推理。

   演绎推理的特点在于如果推理形式正确（有效）且前提都真，则结论必然真。

   演绎推理的结论早已包含在前提之中了，实际上是已知的，推理过程只不过是把前提中隐含的信息明朗化，是对前提中已有内容的某种重复。因此，演绎推理推不出新知识。

[21] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-221874.html

[22] 2024-05-16，[请教，讨论] 同一律与柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 的数学观

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434414.html

[23] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[24] 2025-09-11 21:31，[打听，科普，资料] 莫拉维克 Moravec 的“人类能力景观图”及其更多的同类资料 （关联：“自然运算”）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1501526.html

[25] 2022-08-04 14:42，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349942.html

[26] 2026-04-29 00:30，[资料，科普，数学] 素数（49）：从来没有文字发表过的著名猜想，作者自己都不知道已“发表过”——希尔伯特-波利亚猜想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532647.html

[27] 2025-06-19 22:48，[资料，科普，汇集] 杨振宁（Chen Ning Yang）老师谈“渗透式”学习

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1490497.html

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