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[请教，讨论] 同一律与柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 的数学观

柯尔莫哥洛夫： Андре́й Никола́евич Колмого́ров‎, 

Andrey Nikolaevich Kolmogorov

符号： symbol

同一律： law of identity

图1  柯尔莫哥洛夫，科尔莫戈罗夫，Андре́й Никола́евич Колмого́ров‎, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-04-25 ~ 1987-10-20，于1970年

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https://bigenc.ru/c/kolmogorov-andrei-nikolaevich-ef0f18

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疑问：

柯尔莫哥洛夫 Колмого́ров Kolmogorov 老师的照片，是不是应该这样？原图弄反了？

一、同一律对符号知识的限制

   “同一律 law of identity”：既是人类认识世界的重要方式，又是将世界和人类隔离开的具体方式。

   以数学和逻辑为例，每一步的符号公式的推导，都会“不自觉”地偏离原来的目标。

   对于简单、单纯的事物变化，“同一律 law of identity”成立的程度高，符号公式推导的结果就接近实际。

   反之，

   对于复杂、联系的事物变化，“同一律 law of identity”成立的程度低，符号公式推导的结果就偏离实际。

   所以，大数学家柯尔莫哥洛夫（Андре́й Никола́евич Колмого́ров‎, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-04-25 ~ 1987-10-20）认为：

   研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/11383.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1401.html

   进一步，柯尔莫哥洛夫认为：

   认识具体的东西（现象）的过程中总是具有下面两个互相缠绕的倾向。

   (1) 仅将研究对象（现象）的形式分离出来，对这个形式作逻辑上的解析。

   (2) 弄清与已经确立的形式所不相符的“现象的方面”，向具有更多的可塑性，更能完整地包含“现象”的新的形式转化。

   如果在研究的过程中必须时刻考察现象的本质上新的侧面，因而研究中的困难主要体现在上面的(2)的部分。这样的现象的研究（如生物学、经济学、人文科学等）中，数学方法就不是主要的。在这种时候，对现象的所有方面的辨证分析会由于数学形式反而变得含糊。

   与此相反，如果用比较简单的、稳定的某种形式便可以把握研究对象（现象），并且在这个形式的范围内产生了在数学上需要加以特殊研究（特别是需要创造新的记号和计算法）的困难而复杂的问题时，这种现象的研究（如物理学）则在数学方法的支配圈内。

   更多相关内容，见下面的附录。

二、长期的、复杂的事物变化研究，基础规律的实验检验尽可能接近规律公式自身

   用符号来表示知识，每推导一步公式，都会实质性地、隐含地引入一个新的假设，作为推导结果的“新公式”就会偏离“原来那个公式”的本意。

   微小的偏差，可能引起偏离实际的“推理-计算”结果。

   例如：

   对宇宙未来的研究，目前所采用的物理知识（规律）不一定满足真正的精度要求，所推测出的结果，不一定真实。

   现在主流的我们的宇宙“死神永生”（“大冻结”和“大撕裂”）结局，很可能是不真实的。

宇宙的未来/future of the universe，中国大百科全书，第三版网络版

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=179807&Type=bkzyb&SubID=87498  

   观测上，宇宙学对暗能量的测量有约百分之一的误差。所以，就算暗能量的性质不发生突变，人类也只能预测数百倍于现在宇宙年龄的未来。

三、抽象思维方法：用“概念代表现实事物”和用“概念间的关系”代表“现实事物之间的实际联系”所引起的误差和偏离

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=334248  

   抽象思维本身已不是尽善尽美的思维方法，它和现实的本来面目已存在距离，在社会科学领域比比皆是的逻辑混乱的做法，更让以抽象思维为基础的“社会科学”远离了科学范畴。

   研究客体的能动性和社会性导致的复杂加大了社会科学的抽象思维的困难，但社会科学的抽象思维的低水平主要还是因为人们忘了严密的抽象思维都有哪些要求。

附录：

图2  伊藤清 Kiyosi Itô, 1915-09-07 ~ 2008-11-10

https://www.kyotoprize.org/wp-content/uploads/2019/07/th_1998_b_ito.jpg

https://www.kyotoprize.org/laureates/kiyosi_ito/

Kolmogorov 的数学观（伊藤 清, Kiyosi Ito）

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/11383.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1401.html

   了解 Kolmogorov 的数学观的最好的资料，大概要属苏联大百科辞典中他所执笔的“数学”部分吧。已经出了英文版，我读了英文版，与原文（俄语）比较，英文版稍微缩略了一些，在这篇文章中，他先阐述了其数学观，然后通述了自古至今的数学史，并且从他的数学观出发，详细描述了这个历史的各个阶段，它可以说是为数学家、科学家们所写的数学史。我饶有兴趣地一口气读完了全篇。要说明 Kolmogorov 的数学观，不仅应当看这篇文章的开始部分，也应当参照占该文大部分的数学史，但由于篇幅及时问的限制，我仅将文章的开始部分简要介绍如下。

   根据 Kolmogorov的观点，数学是现实世界中的数量关系与空间形式的科学。

   (1) 因此数学的研究对像是产生于现实中的。然而作为数学加以研究时，必须离开现实的素材（数学的抽象性）。

   (2)但是，数学的抽象性并不意味着完全脱离于现实素材。需要用数学加以研究的数量关系与空间形式的种类，应科学技术的要求，是不断增加着的。因此上面定义的数学内容在不断地得到丰富。

   数学与诸科学：数学的应用是多种多样的，从原理上讲，数学方法的应用范围是无边际的，即物质的所有类型的运动都可以用数学加以研究。但是数学方法的作用与意义在不同情况下是不同的。用单一的模式来包罗现象的所有侧面是不可能的。认识具体的东西（现象）的过程中总是具有下面两个互相缠绕的倾向。

   (1) 仅将研究对象（现象）的形式分离出来，对这个形式作逻辑上的解析。

   (2) 弄清与已经确立的形式所不相符的“现象的方面”，向具有更多的可塑性，更能完整地包含“现象”的新的形式转化。

   如果在研究的过程中必须时刻考察现象的本质上新的侧面，因而研究中的困难主要体现在上面的(2)的部分。这样的现象的研究（如生物学、经济学、人文科学等）中，数学方法就不是主要的。在这种时候，对现象的所有方面的辨证分析会由于数学形式反而变得含糊。

   与此相反，如果用比较简单的、稳定的某种形式便可以把握研究对象（现象），并且在这个形式的范围内产生了在数学上需要加以特殊研究（特别是需要创造新的记号和计算法）的困难而复杂的问题时，这种现象的研究（如物理学）则在数学方法的支配圈内。

   做了这些一般性的论述后，首先详细说明了行星运动完全是在数学方法的支配圈内，在这里数学形式是对于有限质点系的牛顿的常微分方程。

   从力学转向物理学，数学方法的作用几乎不减，但应用中的困难明显增加。在物理学中，几乎没有不必使用高级数学技术（如偏微分方程理论、泛函分析）的领域。但是研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。

   数学方法具有包含从考察的某个水平开始，向更高的、本质上新的水平转移这样一个过程的能力。这种例子在物理理论中是可以见到许多的：扩散现象便是一个古典的好例子。从扩散的宏观理论（拋物型偏微分方程）向更高的微观水平的理论（用独立的随机过程来描述溶液中粒子随机运动的统计力学）转移，从后者出发运用大数定律，可导出把握前者的微分方程， Kolmogorov对此种情形作了更加详细具体的说明。

   同物理学相比，在生物学中数学更处于从属地位。在经济学和人文科学中的，这种情况就更加突出了，在生物学和杜会科学中数学方法的应用主要是以控制论的形式进行的。在这些学科中，数学的重要性以辅助科学──数理统计学的形式保留几分，但在社会现象的精确分析中，各个历史阶段中的本质性差异的侧面是占主导地位的，因而数学方法常常要靠边站。

   数学与技术、算术、初等几何的原理，正像古代数学史所表明的那样，是从日常生活的需要中产生的。其后的新的数学方法或思想也是受到天文学、力学、物理学等满足实际需要的学科的影响而产生的，但是数学与技术（工程学）的直接联系至今常常是通过已有的数学理论在技术中的应用这样一个形式来实现的。当然还须指出，根据技术上的要求而直接产生新数学的一般理论这种例子也是有的〔例如，最小二乘法（测地），操作数法（电气工程）。作为概率论的新分支的信息论（通信工程），数理逻辑学的新分支，微分方程的近似解法，数值解法等〕。

   高度的数学理论使得计算机科学的方法急速地发展起来。而计算机科学在解决原子能利用、宇宙开发中的问题等大量的实际问题时扮演了主要的角色。

   Kolmogorov 在后面的数学史的叙述中也总是注重数学与其它诸学科的关联，同时也高度评价了由于数学内部的要求而推动的纯数学的发展。例如，在实际问题的应用这方面，古代希腊要落后于巴比伦，然而在数学的理论方面，希腊远远领先于巴比伦。他尤其赞颂了“存在无限多个素数”、“等腰直角三角形的斜边与另一边之间不存在公约数”等伟大发现。按着他详细说明了实际主义的巴比伦数学与理想主义的希腊数学是如何经过中世纪的阿拉伯数学，发展至欧洲的近代数学的过程，非常有趣。我从这个历史中学到了许多史实。例如，我以前知道变换群这个概念是在18世纪后半叶至19世纪初，由 Lagrange（分析）、 Galois（方程式论）等有效地使用了的。但我还想知道现在大学里讲授的（抽象）群的定义到底是由谁给出的。根据 Kolmogorov 的数学史，这个定义是由 A. Cayley 在19世纪中叶所给出的。

   总之，Kolmogorov 的数学观是由他的数学上的独创性，对于数学应用所抱有的激情及对于数学发展的历史所具有的洞察。这几个方面所组成的，难以用一言来概之。如果一定要用一句话来总结，也许可以这样说：

   Kolmogorov把数学看成为可以无限制地成长的“生物体”。

参考资料：

[1] 伊藤清. 柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩[J]. 数学文化，2010,1 (3): 6-12.

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/11383.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1401.html

   但是研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。

[2] 2022-01-20，宇宙的未来/future of the universe/王一，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=179807&Type=bkzyb&SubID=87498

   根据推测的宇宙学模型，宇宙的终极命运处于“大冻结”和“大撕裂”的边缘。

   暗能量的理论本质还是一个谜。观测上，宇宙学对暗能量的测量有约百分之一的误差。所以，就算暗能量的性质不发生突变，人类也只能预测数百倍于现在宇宙年龄的未来。所以，为了预知宇宙的命运，我们迫切需要进一步的实验观测，以及对暗能量理论性质的进一步研究。

[3] 科学网，2024-04-10，迄今最大宇宙3D地图问世 暗能量可能越来越弱 

https://news.sciencenet.cn/sbhtmlnews/2024/4/379100.shtm

   暗能量占宇宙的近70%，因此科学家对其本质理解的任何错误都可能对物理学产生广泛影响。不过，要证明这个误差是否真的存在，还需要在未来几年进行更精确的测量。

   “如果研究结果是真的，这将是25年来我们获得的关于暗能量本质的第一条真正线索。”Riess说。（辛雨）

[4] 2022-01-20，同一律/law of identity/张建军，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=121195&Type=bkzyb&SubID=104156

   通常在命题逻辑中被刻画为，或通常表述为p→p，即“如果p则p”。在传统逻辑里，同一律首先是作为事物的规律提出来的，其意是任一事物是什么就是什么，即在“三同一”的限制下（参见矛盾律），如果一事物具有某属性就具有该属性。

   由同一律所决定思维规范称为“同一性规范”，它意为人们如果断定某一命题，就应该断定这一命题。同一性规范是防止“转移论题”或“混淆概念”的根据，这种转移或混淆往往是由于语词歧义或语句结构歧义引起的。故意转移论题或混淆概念，称为“偷换论题”或“偷换概念”的诡辩手法。同一性规范是避免此类错误，揭露此类诡辩的基本工具。

   在现代逻辑基础理论系统中，作为重言式定理的p→p，是同一律在命题逻辑中的直接体现；作为普遍有效式的x(Fx→Fx)（读作：对论域中任何个体x而言，如果x具有F属性就具有F属性），是同一律在谓词逻辑中的直接体现。

   同一律和同一性规范并不否认和排斥事物或思想的变化发展，而只是要求思想保持确定性。

[5] 2022-01-20，矛盾律/law of contradiction/张建军，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=121325&Type=bkzyb&SubID=104156

   在传统逻辑里，矛盾律首先是作为事物规律提出来的，意为任一对象不能同时既具有某属性又不具有某属性。亚里士多德是第一个明确表述与系统阐发矛盾律的哲学家。他在《形而上学》中提出：“一切原理中最确实的原理可陈述如下：在同一时间、同一方面，同一对象不能既具有又不具有某属性。”这是亚里士多德关于矛盾律的“本体化表述”，其中“三同一”的限制是为了“防止诡辩者的责难”。在此基础上，他也提出了矛盾律的语义表述：“对于同一对象，两个互相矛盾的肯定与否定不可能同时都是真的。”由此也就决定了“任一命题不能既真又不真”这一命题逻辑中的基本语义法则，这是矛盾律的逻辑语义学层面。

[6] 2022-01-20，波普尔，K.R. /Karl Raimund Popper/夏基松，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=113015&Type=bkzyb&SubID=99492

   波普尔关于科学与非科学分界问题的主张，主要是受爱因斯坦及其相对论的影响。相对论的确立表明牛顿力学是可反驳的。爱因斯坦对自己的理论持批判的态度，随时准备被证伪后就放弃。这就使波普尔认为可证伪性是科学的不可缺少的特征，凡是不可能被经验证伪的命题，如本体论问题、形而上学问题、数学和逻辑上的重言式命题、宗教、神学和占星术都属于非科学。

[7] 王鑫, 张慧琴, 孙昌璞. 用科学精神抵御学术滑向灰色地带[J]. 科学与社会, 2023, 13(01): 1-15.

doi:  10.19524/j.cnki.10-1009/g3.2023.01.001

http://qikan.cqvip.com/Qikan/Article/Detail?id=7109351460&from=Qikan_Search_Index

https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMxMjI2EhFreGRzaGR5eDIwMjMwMTAwMRoIYXExNWdlODU%3D

https://kns.cnki.net/kcms2/article/abstract?v=s8areCsbC9C-qok7lSNCRWdG-WzaGIe3bH2mjvHaxCQbsjU0jfxOkjtYl89XeputaxnYy7Rt-1fbcYCqOQ17vyfeMEkWvuvnIWt6OtUIXAxuplSwJo_N8jfGWwjuDwda_zwxX_De7oi9gWYNixbAEQ==&uniplatform=NZKPT&language=CHS

   单次实验观察不一定能完全独立于理论去无偏地验证理论预言，仅凭一次和少数几次实验检验理论的正确性是不可靠的，只有多次重复实验才能逼近理论描述的“客观实在”。

   此外，实验物理学家有时相信的“理论”预言，有可能只是某种简化模型和低阶近似的结果，而事实上模型和近似成立的条件可能十分苛刻，

相关链接：

[1] 2024-05-14，[请教，讨论] 电磁学的实验再检验（12）：为什么要“最直接”地再测量？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434112.html  

[2] 2024-03-24，[打听，P vs NP] 柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 老师为什么没有研究“ P vs NP”？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1426719.html

[3] 2024-05-15，[打听] 达朗贝尔“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”的原文出处？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434261.html  

[4] 2024-02-07，[求助] 电磁学的实验再检验（11）：电磁相互作用依赖参照系吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1420950.html

[5] 2023-07-14，“电磁学的实验再检验”：经典电磁学实验当代再检验的起因、意义要点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1395251.html

[6] 2023-07-27，[阶段小总结，要点，小结] “电磁学的实验再检验”相关博文要点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1396886.html

[7] 2021-10-08，[呼吁] 电磁场基本概念与定律的高精度高稳定性实验再验证

https://wap.sciencenet.cn/blog-107667-1307188.html

[8] 2018-08-28，关于电磁场“场”概念的局限性、电荷能量的偶感

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1131501.html

[9] 2024-05-13，[请教] 电磁学的实验再检验：“真正达到国际领先”了吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1433937.html

[10] 2023-10-26，[最主流，实体的物理实验波形] “费曼电容器充电”的电压波形观察

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1407363.html

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