为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（144）：黎曼假设能给出“精确的”素数计数函数吗？1859年论文第675、678页局部截图

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、黎曼 1859年论文第675、678页局部截图

图1  德文的出版版原文，第675页局部截图

图2  德文的出版版原文，第678页局部截图

图3  德文的出版版原文，第675页局部的网页版

图4  德文的出版版原文，第678页局部的网页版

图5  德文的出版版原文，第675页局部截图，汉译

图6  德文的出版版原文，第678页局部截图，汉译

二、打听：黎曼假设能给出“精确的”素数计数函数吗？

   上面的图2、图4、图6看，

   f(x)，即由 F(x) 构成的多项公式的缩写，和 Li(x) 之间有一个与 x 有关的积分项：

   该积分的影响是什么？

   所以，

   打听：黎曼假设能给出“精确的”素数计数函数 π(x) 吗？

   不妨假设，黎曼的所有公式推导是有效的。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-01 15:44，[图片，科普，数学] 素数（111）：黎曼 1859年论文，柏林科学院正式刊出版（1860）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541778.html

[2] 2026-07-17 00:30，[笔记，科普，数学] 素数（127）：黎曼 1859 论文阅读笔记（6）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543945.html

[3] 2026-07-21 00:25，[笔记，科普，数学] 素数（131）：黎曼 1859 论文阅读笔记（10）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544466.html

[4] 2026-06-07 16:59，[图片，科普，数学] 素数（88）：黎曼 1859年论文的手稿 1859 Manuscript （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1538257.html

[5] 2026-08-02 23:46，[笔记，科普，数学] 素数（143）：黎曼 ζ函数非平凡零点与素数位置的一些仿真结果（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546212.html

[6] 2026-08-01 23:51，[笔记，科普，数学] 素数（142）：“欧拉乘积 Euler product”引入了比算术基本定理更多的多余项（2）？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546109.html

[7] 2026-07-31 22:33，[笔记，科普，数学] 素数（141）：欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）引入了比算术基本定理更多的多余项？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545990.html

[8] 2026-07-30 23:34，[笔记，科普，数学] 素数（140）：lnζ(s) 并不能仅仅给出素数？而是只能给出素数的所有幂次？（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545839.html

[9] 2026-07-29 23:00，[笔记，科普，数学] 素数（139）：ζ 函数与欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545709.html

[10] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545265.html

[11] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542143.html

[12] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[13] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[14] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[15] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[22] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

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[23] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

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