为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（127）：黎曼 1859 论文阅读笔记（6）

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

    如果我们用 α 表示方程 ξ(α)=0 的任意根，则可将 logξ(t) 表示为

因为根的密度随 t 的增长仅与  一样快，所以这个表达式是收敛的，而且当 t 趋向无穷时其阶为 tlogt 。表达式与 logξ(t) 的差是这样的一个量，它是 t² 的函数，对于所有有限的 t 仍然是有限和连续的，且在除以 t² 之后对于无穷大的 t 趋向于 0。因此，这个差是一个常数，其值可以通过取 t=0 来确定。^[9]

   借助于这些结果，现在我们就可以来确定小于 x 的素数个数了。

   当 x 不是一个素数时，用 F(x) 表示上述的素数个数。而当 x 是素数时，用 F(x) 表示素数个数与 1/2 之和。因此，每当 F(x) 的数值在 x 处发生跳跃时，总有

在级数

中，我们现在将 p^-s, p^-2s, ... 分别代之以

,  

从而我们得到

这里 f(x) 表示

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-16 23:29，[笔记，科普，数学] 素数（126）：黎曼 1859 论文阅读笔记（5）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543942.html

[2] 2026-07-15 00:35，[笔记，科普，数学] 素数（125）：黎曼 1859 论文阅读笔记（4）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543653.html

[3] 2026-07-14 23:01，[笔记，科普，数学] 素数（124）：黎曼 1859 论文阅读笔记（3）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543650.html

[4] 2026-07-14 23:01，[笔记，科普，数学] 素数（124）：黎曼 1859 论文阅读笔记（3）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543650.html

[5] 2026-07-13 23:04，[笔记，科普，数学] 素数（123）：黎曼 1859 论文阅读笔记（2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543505.html

[6] 2026-07-12 23:11，[笔记，科普，数学] 素数（122）：黎曼 1859 论文阅读笔记（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543333.html

[7] 2026-07-11 23:11，[打听，科普，数学] 素数（121）：黎曼 1859 德文论文科学院出版版第 679 页里 μ 的含义‌

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543221.html

[8] 2026-07-07 22:03，[打听，科普，数学] 素数（117）：是否存在“非欧拉乘积”的含所有素数的因式分解公式？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542655.html

[9] 2026-05-14 21:43，[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534869.html

[10] 2026-07-01 15:44，[图片，科普，数学] 素数（111）：黎曼 1859年论文，柏林科学院正式刊出版（1860）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541778.html

[11] 2026-07-05 22:56，[留念，科普，数学] 素数（115）：千问的评论：关于默比乌斯函数 Möbius function 与素数之间的关系

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542347.html

[12] 2026-07-02 20:52，[打听，科普，数学] 素数（112）：从黎曼 J(x) 计算出 π(x)，有哪几种具体的方法？特别是不用 Möbius 函数的具体方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541991.html

[13] 2026-06-28 00:41，[打听，科普，数学] 素数（108）：从黎曼 ζ 函数只能推导出 J(x) ？不能直接推导出 π(x) ？（实在看不懂）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541257.html

[14] 2026-06-25 23:31，[打听，科普，数学] 素数（105）：J(x) 与 π(x) 之间的关系（实在看不懂）

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[15] 2026-06-22 21:42，[打听，科普，数学] 素数（102）：计算 Möbius Function 之前必须先知道素数吗？

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[16] 2026-07-10 23:20，[打听，科普，数学] 素数（120）：素数计数函数 π(x)， 1948年 Selberg、Erdős 的公式

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[17] 2026-07-09 22:24，[打听，科普，数学] 素数（119）：π(x)>Li(x), Skewes's number 斯奎斯数

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[18] 2026-07-08 23:07，[打听，科普，数学] 素数（118）：π(x)-Li(x), 1914年 Littlewood 到底证明了什么？原文哪里有？

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[19] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[20] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[21] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[22] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[23] 2024-11-25 22:49，[留念，树犹如此，独怆然而涕下] 新一页：2024-11-25。Zenas 定理、公理、论题

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[24] 2022-01-19 14:31，[留念] Zenas 公理（Zenas axiom）：10年之后进入SCI

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