调查就是解决问题

   你对于那个问题不能解决吗？那末，你就去调查那个问题的现状和它的历史吧！你完完全全调查明白了，你对那个问题就有解决的办法了。一切结论产生于调查情况的末尾，而不是在它的先头。

—— 一位真正的大专家

   预测数学未来的真正方法是研究它的历史和现状。

   The true method of foreseeing the future of mathematics is to study its history and its actual state.

—— 庞加莱 Jules Henri Poincaré, 1908

   我得到我的结果已经有了很长一段时间：但我还不知道如何得出这些结果。

   I have had my results for a long time: but I do not yet know how I am to arrive at them.

—— 高斯 Johann Carl Friedrich Gauss

[打听，科普，数学] 素数（118）：π(x)-Li(x), 1914年 Littlewood 到底证明了什么？原文哪里有？  

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

图1  李特尔伍德 John Edensor Littlewood, 1885-06-09 ~ 1977-09-06, 92

https://collectionimages.npg.org.uk/large/mw232108/John-Edensor-Littlewood.jpg?__cf_chl_rt_tk=BWLXl4iR.TDEbsqlwVP70FVucz_zybxfgRRI3.TPTiM-1783518683-1.0.1.1-ErJqd6TAmWwwsbayG5_p1.Hon0sv1XJONZK.aGz8dBM  

   网传：

   In 1914, Littlewood published his first result in the field of analytic number theory concerning the error term of the prime-counting function. If π(x) denotes the number of primes up x, then the prime number theorem implies that π(x)∼Li(x), where Li(x) is the offset logarithmic integral. Numerical evidence seemed to suggest that π(x)< Li(x) for all x. Littlewood, however proved^[10] that the difference π(x)−Li(x) changes sign infinitely often. 

一、London Math Soc obituary 伦敦数学学会讣告第 79 页局部截图

   列出的参考文献：

   " Sur la distribution des nombres premiers ", C. r. hebd. Séanc Acad. Sci., Paris, 158, 1868-1872.

二、Royal Society obituary 英国皇家学会讣告第 343 页局部截图

   列出的参考文献：

   Sur la distribution des nombres premiers. C. r. hebd. Séanc Acad. Sci., Paris, 158, 1868-1872.

三、打听：π(x)-Li(x), 1914年 Littlewood 到底证明了什么？原文哪里有？

   关键是，Littlewood 的证明是否依赖“黎曼假设 Riemann Hypothesis”？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-07 22:03，[打听，科普，数学] 素数（117）：是否存在“非欧拉乘积”的含所有素数的因式分解公式？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542655.html

[2] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html

[3] 2026-07-06 23:52，[打听，科普，数学] 素数（116）：实数域的欧拉乘积，有没有零点？用 Eta Function 表示之后呢？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542502.html

[4] 2026-06-26 00:39，[打听，科普，数学] 素数（106）：从 ζ 函数到 π(x) 的关键步骤（实在看不懂）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1540964.html

[5] 2026-07-05 22:56，[留念，科普，数学] 素数（115）：千问的评论：关于默比乌斯函数 Möbius function 与素数之间的关系

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542347.html

[6] 2026-07-04 16:54，[资料，科普，数学] 素数（114）：默比乌斯函数 Möbius function，前 190 个具体数值

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542198.html

[7] 2026-07-03 20:55，[打听，科普，数学] 素数（113）：默比乌斯函数 Möbius function 前 78 个数值

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542123.html

[8] 2026-07-02 20:52，[打听，科普，数学] 素数（112）：从黎曼 J(x) 计算出 π(x)，有哪几种具体的方法？特别是不用 Möbius 函数的具体方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541991.html

[9] 2026-06-28 00:41，[打听，科普，数学] 素数（108）：从黎曼 ζ 函数只能推导出 J(x) ？不能直接推导出 π(x) ？（实在看不懂）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541257.html

[10] 2026-06-25 23:31，[打听，科普，数学] 素数（105）：J(x) 与 π(x) 之间的关系（实在看不懂）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1540962.html

[11] 2026-06-22 21:42，[打听，科普，数学] 素数（102）：计算 Möbius Function 之前必须先知道素数吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1540480.html

[12] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542143.html

[13] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537749.html

[14] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537747.html

[15] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537745.html

[16] 2024-11-25 22:49，[留念，树犹如此，独怆然而涕下] 新一页：2024-11-25。Zenas 定理、公理、论题

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