为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（142）：“欧拉乘积 Euler product”引入了比算术基本定理更多的多余项（2）？

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、“欧拉乘积 Euler product”一开始就引入了比算术基本定理更多的多余项

图1  ζ(s) 已经是“全部正整数”信息的叠加（混杂）。超出了“算术基本定理”的简洁。

图2  ζ(s)，产生了比“算术基本定理”更多的正整数信息

图3

图4

图5  ζ(s)，混进了比“算术基本定理”更多的素数幂次项

图6  黎曼的 J(x)，被迫接受了多余的素数幂次项

图7

图8  黎曼的 J(x)，被迫接受了 ζ(s) 引入的多余的素数幂次项

图9  黎曼的 J(x)，真的能精确产生“素数计数函数 prime counting function , π(x)？”

二、感慨：黎曼假设，并不能产生“真正精确的”素数计数函数？

   上面的图9，似乎是这样。

   以前数值计算里表现出了“端点效应”，看来不是假象，而是真实的存在？

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-31 22:33，[笔记，科普，数学] 素数（141）：欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）引入了比算术基本定理更多的多余项？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545990.html

[2] 2026-04-22 17:12，[图片，科普，数学] 素数（42）：黎曼ζ函数零点与素数计数函数π(x)的 Wolfram 仿真之一 （关联：端点效应）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531595.html

[3] 2026-04-20 21:26，[图片，科普，数学] 素数（40）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应之二

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531246.html

[4] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html

[5] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[6] 2026-4-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[7] 2026-06-29 00:34，[打听，科普，数学] 素数（109）：欧拉用 η函数表示实数域的 ζ 函数，收敛域扩展到了 (0, 1)+(1, +∞)

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541357.html

[8] 2026-7-30 23:34，[笔记，科普，数学] 素数（140）：lnζ(s) 并不能仅仅给出素数？而是只能给出素数的所有幂次？（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545839.html

[9] 2026-07-29 23:00，[笔记，科普，数学] 素数（139）：ζ 函数与欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545709.html

[10] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545265.html

[11] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542143.html

[12] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537749.html

[13] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537747.html

[14] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537745.html

[15] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[16] 2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

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[17] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

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[18] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

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[19] 2024-11-19 22:49，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得、高斯对“算术基本定理”研究的有效性

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[20] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

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[21] 2024-11-15 22:52，[数学文化] 数学研究的“客观派”正式成立！

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[22] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1443609.html

[23] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1487066.html

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