Yet, in fact, as I shall show here with very good reasons, the properties of the numbers known today have been mostly discovered by observation, and discovered long before their truth has been confirmed by rigid demonstrations.

   ——Leonhard Paul Euler

   事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、计算素数计数函数 prime counting function π(x)的三大类方法

1.1  直接的数值法

   就是直接找出所有的素数，然后进行直接的计数。当然，实际中这样只能是对有穷的素数。

   具体的方法有：

   （1）欧拉筛，sieve of Euler；

   （2）埃拉托色尼筛，sieve of Eratosthenes。

1.2  1959年勒梅尔，1870年梅塞尔等的方法

   1959年，德里克·亨利·勒梅尔（Derrick Henry Lehmer）推广并简化了梅塞尔（Ernst Meissel）的方法：

1.3  函数表示法（函数逼近法）

   如“黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function”、“黎曼假设 Riemann Hypothesis”等。

二、讨论：哪种方法真的准确？

   显然，以“欧拉筛 sieve of Euler”为代表的“直接的数值法”，尽管计算速度慢，但会得到“真正准确”的素数计数函数的真值。

   相反，以“黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function”为代表的函数逼近法，目前还没有直接证明其在“有穷”情况下的数值计算结果的准确性。

   有理由怀疑它们会遇到“端点效应 end effects”、“有限的样本容量 finite sample size”下具有的“置信区间 confidence interval, CI”，等类似特性引起的数值计算结果偏离真值。

   尚不清楚“1959年勒梅尔，1870年梅塞尔等方法”的准确性。

三、是不是应该宣布一下上面思考的“优先权”？

附录：当前数学证明的“演绎”本质及其“前提”

（1）所有的数学证明都是演绎法（演绎推理）。完全归纳法被认为是演绎推理的逆向归纳法。

   这直接意味着：

   证明的“结论”，直接来自证明所采用的“前提”。对于“同一命题”，你采用了不同的“前提”，可以严格证明出不同的“结论”。

   三个直观的例子：

   ① 首先，是著名的“欧氏几何”、“非欧几何”：

   “平行公设”到底成立不成立？三角形的内角之和，是 180°吗？

   ② 又例如：中学里的实系数一元二次方程，当根的判别式 ‌Δ<0（小于 0）时，

   在实数域，无解；

   在复数域，有解。

   ③ 再有：

   NP完全性难题，在“非确定型图灵机 non-deterministic Turing machine, NTM”里，可以快速求解；

   在“确定型图灵机 deterministic Turing machine, TM”里，不能快速求解。

（2）在现有的“素数计数函数 prime counting function”里，采用的“证明前提”是什么？

   归根到底，是“ZF，Zermelo–Fraenkel set theory，策梅洛-弗伦克尔公理系统”吗？

   素数的相关研究，似乎直接联系到“数学基础”的研究，如对 ZF 所采用的“公理 axioms”的进一步改进。

   这可不是小事！！

   正如庞加莱的“数学如何没有沦为一种巨大的同义反复”？

图1  （美）玛莎·葛森著. 完美的证明 一位天才和世纪数学的突破[M]. 2012 page 153 截图（全）

   “数学科学的可能性本身似乎就是一个无法解决的矛盾。”早在一个多世纪以前，亨利庞加莱这位被称为“最后的通才”的数学家就如是写道。庞加莱取得这个称号源于他对数学所有领域的精通。如果研究的对象仅限于想象，“那么从何衍生出这一无人能置疑的完美推断呢”？当形式逻辑的法则取代了实验的证明，“数学如何没有沦为一种巨大的同义反复”？最后，”是否我们得承认……所有这些连篇累牍中出现的各种定理仅仅只是关于A即是A的间接表达”？

   庞加莱继续解释说，数学之所以是一门科学是因为它的推理过程是从特殊到一般。一位运用足够的严谨来进行思维实验的数学家，所推导出的法则可以统领他与其他数学家共享的其他想象领域。换言之，它不仅证明了A即是A，而且还解释了是什么使A在本质上是一个A，在哪可以发现其他的A或者如何建构其他的A。

   亦如高斯

   We must admit with humility that, while number is purely a product of our minds, space has a reality outside our minds, so that we cannot completely prescribe its properties a priori.

   ——Letter to Bessel, 1830.

   我们必须谦逊地承认，虽然数字纯粹是我们头脑的产物，但空间在我们头脑之外有一个现实，所以我们不能完全先验地规定它的属性。

   ——《致贝塞尔的信》，1830年。

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-14 13:17，[图片，科普，数学] 素数（34）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（最后5页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530338.html

[2] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[3] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[4] 2021-07-15 14:49，对2008年《超过指数增长速度的年度用电量曲线拟合预测》一文的一点说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1295579.html

[5] 2025-09-19 22:28，[资料，科普，琐记] 相关性指标 correlation, similarity，数理统计学，小样本（置信区间）：要点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502725.html

[6] 2020-06-17 13:30，敬请慎重使用和看待“数据统计与分析”的结果

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[7] 2020-08-18 14:01，没有真正“小样本”数理统计学的世界，了无生趣

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1246844.html

[8] 2018-08-18 15:06，“大数据”时期，更渴望“小样本数理统计学”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1129894.html

[9] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[10] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[11] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html

[12] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html  

[13] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[14] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[15] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[16] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

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[17] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

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[18] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[19] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

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