[图片，科普，数学] 素数（34）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（最后5页）

   Tchebichef. Mémoire sur les nombres premiers [J]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1852, 17(1): 366-390

   【机器翻译】切比雪夫. 素数的记忆[J]. 纯数学与应用数学杂志, 1852, 17(1): 366-390

一、以下是切比雪夫 1852年论文的图片，最后 5页

  图21  第 386 页

   图22  第 387 页

图23  第 388 页

图24  第 389 页

图25  第 390 页

二、该文的重要性

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

   数学中严格的证明首先由切比雪夫(Чебышёв)给出, 他用几乎初等的方法分析了 (2n)!/(n!)2 中的素因子, 证明了存在常数 0 < A < 1 < B, 使得 Ax/log x ≤ π(x) ≤ Bx/log x  (x > 2), 由此推出相邻素数的密度大于 x/Bx/log x = log x/B  (并且小于 log x/A ). 切比雪夫首次较精确地给出了素数函数 π(x)的上、下界, 但如何把上面的常数 A, B改进到1, 是经典方法无法企及的.

图26  葛力明，薛博卿，2018《科学通报》第 142 页局部

三、打听：切比雪夫该文证明了“随着自然数的增大，素数越来越稀疏”？

   例如：

   前 10 个自然数里，有 4 个素数；素数占 40%。

   前 100 个自然数里，有 25 个素数；素数占 25%。

   前 1000 个自然数里，有 168 个素数；素数占 17%。

   前 10000 个自然数里，有 498 个素数；素数占 8%。

   ……

附录：当前数学证明的本质

（1）所有的数学证明都是演绎法（演绎推理）。完全归纳法被认为是演绎推理的逆向归纳法。

   这直接意味着：

   证明的“结论”，直接来自证明所采用的“前提”。对于“同一命题”，你采用了不同的“前提”，可以严格证明出不同的“结论”。

   三个直观的例子：

   ① 首先，是著名的“欧氏几何”、“非欧几何”：

   “平行公设”到底成立不成立？三角形的内角之和，是 180°吗？

   ② 又例如：中学里的实系数一元二次方程，当根的判别式 ‌Δ<0（小于 0）时，

   在实数域，无解；

   在复数域，有解。

   ③ 再有：

   NP完全性难题，在“非确定型图灵机 non-deterministic Turing machine, NTM”里，可以快速求解；

   在“确定型图灵机 deterministic Turing machine, TM”里，不能快速求解。

（2）在现有的“素数计数函数 prime counting function”里，采用的“证明前提”是什么？

   归根到底，是“ZF，Zermelo–Fraenkel set theory，策梅洛-弗伦克尔公理系统”吗？

   素数的相关研究，似乎直接联系到“数学基础”的研究，如对 ZF 所采用的“公理 axioms”的进一步改进。

   这可不是小事！！

   正如庞加莱的“数学如何没有沦为一种巨大的同义反复”？

图27  （美）玛莎·葛森著. 完美的证明 一位天才和世纪数学的突破[M]. 2012 page 153 截图（全）

   “数学科学的可能性本身似乎就是一个无法解决的矛盾。”早在一个多世纪以前，亨利庞加莱这位被称为“最后的通才”的数学家就如是写道。庞加莱取得这个称号源于他对数学所有领域的精通。如果研究的对象仅限于想象，“那么从何衍生出这一无人能置疑的完美推断呢”？当形式逻辑的法则取代了实验的证明，“数学如何没有沦为一种巨大的同义反复”？最后，”是否我们得承认……所有这些连篇累牍中出现的各种定理仅仅只是关于A即是A的间接表达”？

   庞加莱继续解释说，数学之所以是一门科学是因为它的推理过程是从特殊到一般。一位运用足够的严谨来进行思维实验的数学家，所推导出的法则可以统领他与其他数学家共享的其他想象领域。换言之，它不仅证明了A即是A，而且还解释了是什么使A在本质上是一个A，在哪可以发现其他的A或者如何建构其他的A。

   亦如高斯

   We must admit with humility that, while number is purely a product of our minds, space has a reality outside our minds, so that we cannot completely prescribe its properties a priori.

   ——Letter to Bessel, 1830.

   我们必须谦逊地承认，虽然数字纯粹是我们头脑的产物，但空间在我们头脑之外有一个现实，所以我们不能完全先验地规定它的属性。

   ——《致贝塞尔的信》，1830年。

（3）公式与数值计算的差别

   例如，“黎曼假设 Riemann Hypothesis”、“黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function”是抽象思维的存在。在用数字计算机计算具体的数值时，可能存在“端点效应 end effects”，即在某些具体的数值下，黎曼的公式和数值计算的结果有一定的差异！

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] 2026-01-29，非欧几何/Non-Euclidean geometry/陈维桓，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=318394&Type=bkzyb&SubID=149705

   非欧几何与欧氏几何的最主要区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。

   罗巴切夫斯基和波尔约在1830年前后分别发表了他们关于非欧几何的理论，替代欧几里得平行公理的是罗巴切夫斯基平行公理:在平面上过已知直线外一点至少有两条直线与已知直线不相交。在这种几何里，三角形的内角和小于两直角。

   与罗氏几何相对照，还可以采用公理:“同一平面上任何两直线必相交。”代替欧几里得平行公理。在这种几何里，三角形的内角和大于两直角。

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-13 16:04，[图片，科普，数学] 素数（33）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（中间10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530221.html

[2] 2026-04-12 23:52，[图片，科普，数学] 素数（32）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（前10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530075.html

[3] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html  

[4] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[5] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[6] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[7] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[8] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html

[9] 2026-04-05 19:32，[打听，科普，数学] 素数（25）：对黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529015.html

[10] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html

[11] 2026-03-08 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（4）：素数定理，黎曼两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524948.html

[12] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[13] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[14] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[15] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[16] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html  

[17] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html

[18] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-221874.html

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