为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（4）：素数定理，黎曼两个估计的误差

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

黎曼： Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-09-17 ~ 1866-07-20， 39

图1  黎曼

https://cdn.britannica.com/76/9576-050-E38B0E19/Bernhard-Riemann-lithograph-portrait-1863.jpg

   对于正数 n，π(n) 表示“小于或等于 less than or equal to ” n 的素数的个数。

一、素数定理，黎曼的两个估计 f(x) 和 R(x)

2.1  黎曼的 f(x)

图2  黎曼的 f(x) 公式

图3  黎曼 f(x) 对照 π(x)

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannPrimeCountingFunction_1000.svg

2.2  黎曼的 R(x)

   这里，μ是莫比乌斯函数（ Möbius function）

   以及，li(n)，或者写为 Li(n)， 是高斯的估计，即对数积分 Logarithmic Integral =

图4  黎曼的 R(x) 公式

图5  黎曼 R(x) 对照 π(x)

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannPrimeNumberFormula_1000.svg

二、素数定理，黎曼估计 R(x) 的误差（附有高斯的Li(x)）

Sloane	A057794	A057752
1	1	-2
2	1	-5
3	0	-10
4	2	-17
5	-5	-38
6	29	-130
7	88	-339
8	97	-754
9	-79	-1701
10	-1828	-3104
11	-2318	-11588
12	-1476	-38263
13	-5773	-108971
14	-19200	-314890
15	73218	-1052619
16	327052	-3214632
17	-598255	-7956589
18	-3501366	-21949555
19	23884333	-99877775
20	-4891825	-222744644
21	-86432204	-597394254
22	-127132665	-1932355208

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，素数定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289518

[2] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

   素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。关于素数分布性质，通过数值观察、计算和初步研究发现，素数分布是以黎曼公式为中心，高斯公式为上限的正态分布，这在现在来说是经验公式，待数学家给出严格证明之后才能成为数学定理。

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-07 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（3）：素数定理，高斯两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524859.html  

[2] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[3] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[4] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[5] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[6] 2024-11-02 22:49，[笔记，科普，资料] 素数 prime number 入门

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1458252.html

[7] 2013-07-23 11:51，孪生素数：相关介绍和链接

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-710546.html

[8] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[9] 2024-05-19 22:49，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434748.html

[10] 2026-01-21 20:45，[往日（22）] 外国 Science 文献给出“人类最高成就”者的部分统计原因（相关性）：宽基础、重积累

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1519414.html

[11] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！