为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（3）：素数定理，高斯两个估计的误差

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

高斯： Johann Friedrich Carl Gauss, 1777-04-30 ~ 1855-02-23, 77

图1  高斯

https://cdn.britannica.com/27/190027-050-A9A35298/Carl-Friedrich-Gauss-engraving.jpg

一、素数定理，高斯两个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

二、素数定理，高斯两个估计的误差

图2  unnamed-chunk-8-1.png

https://charlie-spackman.rbind.io/post/2018-07-16-prime-counting-functions-in-r_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png

图3  primedist.webp

https://thatsmaths.com/wp-content/uploads/2014/02/primedist.jpg?w=1024

图4  81a349fc-3495-4a59-816b-5e4570210718_1035x669.jpg

https://substackcdn.com/image/fetch/w_1456,c_limit,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https://bucketeer-e05bbc84-baa3-437e-9518-adb32be77984.s3.amazonaws.com/public/images/81a349fc-3495-4a59-816b-5e4570210718_1035x669.png

图5  高斯 Li(x)-pi(x).jpg

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/PrimeCountingFunctions_650.svg

图6  GaussEst.jpg

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Diagrams/GaussEst.gif

图7   LegGaussEst.jpg

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Diagrams/LegGaussEst.gif

图8  PNTBoundsPlot3-1024x1015.png

https://woosterphysicists.scotblogs.wooster.edu/files/2025/05/PNTBoundsPlot3-1024x1015.png

三、随感：大器，越来越会晚成

   请看：

   （1）2026-01-21 20:45，[往日（22）] 外国 Science 文献给出“人类最高成就”者的部分统计原因（相关性）：宽基础、重积累

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1519414.html

   （2）科学家做出重要成果的年龄越来越大

   2025-08-30 19:27，[资料，科普] 诺贝尔奖的滞后期越来越长，将威胁、削弱诺贝尔奖作为科学上最受人尊敬的奖项地位

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1499739.html

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，素数定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289518

2] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

   素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。关于素数分布性质，通过数值观察、计算和初步研究发现，素数分布是以黎曼公式为中心，高斯公式为上限的正态分布，这在现在来说是经验公式，待数学家给出严格证明之后才能成为数学定理。

[3] Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function." From MathWorld--A Wolfram Resource

https://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[2] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[3] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[4] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[5] 2024-11-02 22:49，[笔记，科普，资料] 素数 prime number 入门

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1458252.html

[6] 2013-07-23 11:51，孪生素数：相关介绍和链接

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-710546.html

[7] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[8] 2024-05-19 22:49，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434748.html

[9] 2026-01-21 20:45，[往日（22）] 外国 Science 文献给出“人类最高成就”者的部分统计原因（相关性）：宽基础、重积累

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1519414.html

[10] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！