Yet, in fact, as I shall show here with very good reasons, the properties of the numbers known today have been mostly discovered by observation, and discovered long before their truth has been confirmed by rigid demonstrations.

   ——Leonhard Paul Euler

   事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

端点效应： end effects, endpoint effect

边缘效应： edge effects, border effects, boundary effects

虚假的波动： fictional waves

黎曼素数计数函数： Riemann Prime Counting Function

傅里叶展开： Fourier expansion

小波分解： wavelet decomposition

经验模式分解： empirical mode decomposition

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

图1  黎曼Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-09-17 ~ 1866-07-20, 39

Bernhard-Riemann-PublicDomain.webp

https://www.quantamagazine.org/wp-content/uploads/2025/11/Bernhard-Riemann-PublicDomain.webp

一、黎曼假设 Riemann Hypothesis 与端点效应 end effects

图2  5174d6c1-32ac-4510-a4df-95a703c55597_1806x1158.jpg

https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!VRH8!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fbucketeer-e05bbc84-baa3-437e-9518-adb32be77984.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F5174d6c1-32ac-4510-a4df-95a703c55597_1806x1158.png

   The prime counting step function π(x) being approximated by the explicit formula for the Riemann prime counting function J(x) using the first 35 non-trivial zeros ρ of the Riemann Zeta function.

   素数计数阶跃函数 π(x) 由黎曼素数计数函数 J(x) 的显式公式近似，使用黎曼Zeta函数的前35个非平凡零ρ。

fc4de0a6-a860-45c7-905b-bc4bd7645271_1762x1116.jpg

https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!P9lA!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fbucketeer-e05bbc84-baa3-437e-9518-adb32be77984.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Ffc4de0a6-a860-45c7-905b-bc4bd7645271_1762x1116.png

   The prime counting step function π(x) being approximated by the explicit formula for the Riemann prime counting function J(x) using the first 100 non-trivial zeros ρ of the Riemann Zeta function.

   素数计数阶跃函数 π(x) 由黎曼素数计数函数 J(x) 的显式公式近似，使用黎曼Zeta函数的前100个非平凡零ρ。

二、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function 与端点效应 end effects

https://mathworld.wolfram.com/images/equations/GramSeries/NumberedEquation2.svg

   Below we see an animated image, each successive frame being the result of adding another Tn(x) to the function 

   下面我们看到一个动画图像，每个连续的帧都是向函数添加另一个Tn（x）的结果

图4  picomp.gif

https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/picomp.gif

[animation courtesy of Raymond Manzoni]

三、打听（优先权）：“端点效应 end effects”是“周期性分解”的共同问题吗？

   已知：“傅里叶展开 Fourier expansion”、“小波分解 wavelet decomposition”、“经验模式分解 empirical mode decomposition”，它们都会遇到“端点效应 end effects”（endpoint effect, 边缘效应 edge effects, border effects, boundary effects）引起的“虚假的波动 fictional waves”。

   看上去，“黎曼假设 Riemann Hypothesis”、“黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function”，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”？

附录、说明

   为今后不打断思路，尽力保证“大块连续时间 large continuous blocks of time”，特列出以前的相关博文网址。

   [8] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

   https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

   有该天以前的几乎全部相关博文网址。

   [2] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

   https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

   有 2026-03-27 ~ 2026-04-08 之间几乎全部相关博文网址。

   近一个多月的关于“素数”的博文，主要是杨振宁（Chen Ning Yang）老师提出的“渗透式”学习笔记。

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] bilibili，2022-03-14 14:11，黎曼猜想

https://www.bilibili.com/read/cv15653584/?opus_fallback=1

[3] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[2] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[3] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html

[4] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html

[5] 2026-04-05 19:32，[打听，科普，数学] 素数（25）：对黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529015.html

[6] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html

[7] 2026-03-08 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（4）：素数定理，黎曼两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524948.html

[8] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[9] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[10] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[11] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[12] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！