[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

端点效应： end effects, endpoint effect

边缘效应： edge effects, border effects, boundary effects

虚假的波动： fictional waves

黎曼素数计数函数： Riemann Prime Counting Function

傅里叶展开： Fourier expansion

小波分解： wavelet decomposition

经验模式分解： empirical mode decomposition

一、计算素数计数函数 prime counting function π(x)的有穷项公式

   有 Legendre's Formula, Lehmer's Formula, Mapes' Method, or Meissel's Formula 等。

   The following table is taken from Riesel (1994) 下表摘自Riesel（1994）：

   之后，还有

   Computing π(x): the Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method by Deleglise and Rivat (1996)

   Gourdon (2001) and Gourdon & Sebah (2004) also have some later improvements.

   等。

   打听：上面这类有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数 π(x) 的数值吧？

二、“端点效应 end effects”往往与“无穷”项有关

   无穷级数展开，无限项（无穷项）的数列等，在选取其中的有限项（经常为“前有限项”）做近似计算时，可能会出现“端点效应 end effects”等，造成数值计算的误差。

   其实质，还是“截断误差 truncation error”与“舍入误差 round-off error”。

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html

[2] 2026-04-14 13:17，[图片，科普，数学] 素数（34）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（最后5页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530338.html

[3] 2026-04-13 16:04，[图片，科普，数学] 素数（33）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（中间10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530221.html

[4] 2026-04-12 23:52，[图片，科普，数学] 素数（32）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（前10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530075.html

[5] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html

[6] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[7] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[8] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[9] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[10] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html  

[11] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[12] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[13] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[14] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[15] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

[16] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html

[17] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-221874.html

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