[笔记，科普，数学] 素数（37）：“黎曼假设/猜想”与素数计数函数 prime counting function

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、黎曼假设 Riemann Hypothesis

   对于复数 s ，黎曼ζ函数（Riemann zeta function, Riemann ζ function）

在 Re(s) > 1 时绝对收敛（converges absolutely）。

   当 s = -2, s = -4, s = -6, … 时，黎曼ζ函数的零点为“平凡零点 trivial zeros”。 

   “非平凡零点 the nontrivial zeros”处在“开放式垂直条带 open vertical strip” （临界带 critical strip）里 0 < Re(s) < 1。

   黎曼猜想（黎曼假设 Riemann Hypothesis）为：

   黎曼ζ函数的所有“平凡零点 trivial zeros”都落在复平面的竖直线 Re(s) = 1/2 上。

图1  zeros-solutions-axis-part-strip-numbers-Riemann.webp

https://cdn.britannica.com/81/130281-050-38C28603/zeros-solutions-axis-part-strip-numbers-Riemann.jpg  

   Other than the “trivial zeros” along the negative real axis, all the solutions to the Riemann zeta function must lie in the critical strip of complex numbers whose real part is between 0 and 1. The Riemann hypothesis is that all these nontrivial zeros actually lie on the critical line, or Re(s) = 1/2. 

   【机器翻译】除了负实轴上的“平凡零点”外，黎曼ζ函数的所有解都必须位于实部在0和1之间的复数临界带中。黎曼假设是所有这些非平凡零点实际上都位于临界线上，即 Re(s)=1/2。

二、黎曼假设与素数计数函数的关系

   如果黎曼假设成立，则对于某些常数 c，有

   这里 Li(x) 是“对数积分 logarithmic integral”, π(x) 是“素数计数函数 prime counting function”。

   在不同的资料了，“ | Li(x) - π(x) | ≤ c ”后面的公式有一定的差异。我不知道哪个更合适。

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-16 22:08，[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530752.html

[2] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html

[3] 2026-04-14 13:17，[图片，科普，数学] 素数（34）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（最后5页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530338.html

[4] 2026-04-13 16:04，[图片，科普，数学] 素数（33）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（中间10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530221.html

[5] 2026-04-12 23:52，[图片，科普，数学] 素数（32）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（前10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530075.html

[6] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[7] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[8] 2026-04-05 19:32，[打听，科普，数学] 素数（25）：对黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529015.html

[9] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html

[10] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html

[11] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[12] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[13] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html

[14] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[15] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[16] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[17] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[18] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[19] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

[20] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html

[21] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-221874.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！