Yet, in fact, as I shall show here with very good reasons, the properties of the numbers known today have been mostly discovered by observation, and discovered long before their truth has been confirmed by rigid demonstrations.

   ——Leonhard Paul Euler

   事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

[图片，科普，数学] 素数（38）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之一

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

   网上有不少对黎曼ζ函数（Riemann zeta function, Riemann ζ function）零点（zeros）数值计算的结果。陆续搜集汇总如下：

   The Riemann hypothesis asserts that the nontrivial zeros of ζ(s) all have real part σ = R[s] = 1/2, a line called the "critical line." This is known to be true for the first 10^(13) zeros. 

   黎曼假说认为，黎曼ζ函数的所有平凡零点全都有实部 σ = R[s] = 1/2，这条“临界线”上。众所周知，前 10¹³ 非平凡零点都在这条线上。

图1  RiemannZetaZerosReIm_800.png

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannZetaZerosReIm_800.png

图2  RiemannZetaZerosContours_800.svg

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannZetaZerosContours_800.svg

   The plots above show the real and imaginary parts of ζ(s) plotted in the complex plane together with the complex modulus of ζ(s). As can be seen, in right half-plane, the function is fairly flat, but with a large number of horizontal ridges. It is precisely along these ridges that the nontrivial zeros of ζ(s) lie. 

   上图显示了在复平面中绘制的ζ(s)的实部和虚部以及ζ(s)的复模量。可以看出，在右半平面上，函数相当平坦，但有大量的水平脊。ζ(s)的非平凡零点正是沿着这些脊。

图3  RiemannZetaZerosContoursReIm_850.svg

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannZetaZerosContoursReIm_850.svg

   The position of the complex zeros can be seen slightly more easily by plotting the contours of zero real (red) and imaginary (blue) parts, as illustrated above. The zeros (indicated as black dots) occur where the curves intersect. 

   通过绘制零实部（红色）和虚部（蓝色）的轮廓，可以更容易地看到复数零点的位置，如上所示。零（表示为黑点）出现在曲线相交的地方。

图4  RiemannZetaAbs_800.svg

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannZetaAbs_800.svg

The above plot shows |ζ(1/2+it)| for t between 0 and 60. 

上图显示了 t 在 0 到 60 之间的 |ζ(1/2+it)|。

图5  RiemannZetaSurfaces_900.svg

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/RiemannZetaSurfaces_900.svg

图6  CriticalLine_1001.svg

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/CriticalLine_1001.svg

图7  Riemann_zeta_function_absolute_value.png

https://handwiki.org/wiki/images/3/30/Riemann_zeta_function_absolute_value.png

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022  

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-17 21:28，[笔记，科普，数学] 素数（37）：“黎曼假设/猜想”与素数计数函数 prime counting function

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530901.html

[2] 2026-04-16 22:08，[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530752.html

[3] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html

[4] 2026-04-14 13:17，[图片，科普，数学] 素数（34）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（最后5页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530338.html

[5] 2026-04-13 16:04，[图片，科普，数学] 素数（33）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（中间10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530221.html

[6] 2026-04-12 23:52，[图片，科普，数学] 素数（32）：1852年切比雪夫 Чебышёв Tchebichef 的素数论文（前10页）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530075.html

[7] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[8] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[9] 2026-04-05 19:32，[打听，科普，数学] 素数（25）：对黎曼假设 Riemann Hypothesis 可能不利的证据，都有哪些？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529015.html

[10] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html

[11] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html

[12] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[13] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10^27（全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[14] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[15] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html  

[16] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

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[17] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[18] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

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[19] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

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[20] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[21] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

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